关于邻域粗糙集的性质及定理理解

以上是邻域粗糙集的一些基本定义。HU 等人提出了 NRS，是基于经典的在粗糙集模型提出的，该模型基于邻域关系而非等价关系，模型是建立在邻域结构上的，可以直接应用在连续型数据集上。

下面主要是对定理2.1 到2.3的自我理解：

这是胡在文章中的提到的三个定理。 （邻域符号有点不一致），${\delta }_{B_2}(x)$ 表示样本x在条件属性集B2的邻域子集，${\delta }_{B_1}(x)$ 表示样本x在条件属性集B1的邻域子集。

先看定理2.3:

若$B_1$小于$B_2$, 计算p范数空间，样本之间的距离。

$\begin{array}{rl}{\Delta }_{B_2}(x,x_i)& =(\sum _{j=1}^s|g(x,a_j)-g(x_i,a_j){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}\\ & =(\sum _{j=1}^t|g(x,a_j)-g(x_i,a_j){|}^p+\sum _{j=t+1}^s|g(x,a_j)-g(x_i,a_j){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge ((\sum _{j=1}^t|g(x,a_j)-g(x_i,a_j){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}\\ & ={\Delta }_{B_1}(x,x_i).\end{array}$

在B2下，点与点之间的距离始终比在B1的属性下要大。即在图上表示为点与点越稀疏。

若$B_1$小于$B_2$, 当邻域半径不变，当只有$B_1$时，这圆圈假设圈住了X2，x3，x4。

当是$B_2$时，虽然点与点的分布特征变了。根据公式，点的距离变大，距离会变得更稀疏。当半径不变时，这个圆圈圈得更少。可能只圈住X2。

${\delta }_{B_2}(x)$ 含义为在B2属性下，x的邻域样本集合。

则证明${\delta }_{B_2}(x)$小于${\delta }_{B_1}(x)$.

定理得证。

定理2.1 和 2.2理解

${\delta }_{B_2}(x)$小于${\delta }_{B_1}(x)$ , ${\delta }_B(x)$ 集合一定包含自己 ，在$B_1$下，若x是正域样本，在$B_2$下x一定是正域样本。（大的集合属于U，那么小的集合肯定属于U） 。

若x在 $B_1$不是正域样本，若邻域样本减少后，在$B_2$下可能是正域样本。

即证明$Po{s}_{B1}$小于$Po{s}_{B2}$.

定理2.1同理。

参考文献

HU Q, YU D, LIU J, et al. Neighborhood rough set based heterogeneous feature subset
selection[J]. Information Science, 2008, 178(18): 3577-3594.