C++进阶(3): 二叉搜索树

news2024/12/30 15:48:04

二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有的节点的值都小于等于 根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有的节点的值都大于等于 根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树
  • 二叉搜索树可以支持插入相同的值(multimap/multiset)，也可以不支持插入相等的值(map/set)

二叉搜索树的性能分析

  1. 最优的情况：二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，它的高度是：O(log2 N)
  2. 最坏的情况：二叉搜索树退化为单支树(类似于单支)，它的高度是：O(N/2)

所以综合而言二叉搜索树增删改时间复杂度是：O(N)
但是这样的效率显然无法满足我们的需求，后续的博客我将介绍二叉搜索树的变形，平衡二叉树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存在存储和搜索数据。

最好的情况
最坏的情况

二叉搜索树的插入

不用递归，采用更简单的循环

插入的具体步骤如下：

  1. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
  2. 树不为空，按照二叉搜索树性质，插入值比当前节点大往右走，插入值比当前节点小往左走，找到空位置，插入新节点。
  3. 如果支持插入相同的值，插入值跟当前节点相等的值可以往右走，也可以往走左走，找到空位置，插入新节点(要注意保持逻辑的一致性，插入相同的值不要一会向右走，一会向左走)

二叉搜索树的查找

  1. 从根节点开始比较，查找x，x比根节点的值大则向右边走查找，x比根节点的值小则向左边走查找
  2. 最多查找高度次，走到空时，还没找到x，那么这个值在这个二叉搜索树中不存在
  3. 如果不支持插入相同的值，则找到x后可以直接返回
  4. 如果支持插入相同的值，则意味着可能存在多个x，一般要求查找中序的第一个x

二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false
如果查找元素存在则分为以下四个情况进行分别处理：(假设要删除的节点为N)(分类依据：孩子的个数)

  1. 要删除的节点N左右孩子均为空(即N为叶子节点)
  2. 要删除的节点N左孩子为空，右孩子不为空
  3. 要删除的节点N左孩子不为空，右孩子为空
  4. 要删除的节点N左右孩子均不为空

对于以上四种情况的解决办法：

  1. 把N节点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N节点(1可以和2.3一起处理)
  2. 把N节点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N节点
  3. 把N节点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N节点
  4. 无法直接删除N节点，因为N的两个孩子无处安放，只能采用替代法将其删除：将N左子树的最大值的节点R(最右节点)或者N右子树的最小值的节点R(最左节点)代替N，因为这两个节点中任意一个，放到N的节点，都满足二叉搜索树的规则。代替N的意思就是N和R的两个节点的值交换，转而变成删除R节点，R节点符合情况2或者情况3，可以直接删除
    在这里插入图片描述
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实现代码

template<class K>

struct BSTNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};

//搜索二叉树：
template<class K>

class BSTree
{
	typedef BSTNode<K> Node;

public:

	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;//记录之前的数据
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;//不能插入相同的值
			}
		}

		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		return true;
	}

	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return true;
			}

			return false;
		}
	}

	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				if (nullptr == cur->_left)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else if (parent->_right = cur)
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}

					delete cur;
					return true;
				}
				else if (nullptr == cur->_right)
				{
					if (nullptr == parent)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}

					delete cur;
					return true;
				}
				else
				{
					Node* leftMaxP = cur;
					Node* leftMax = cur->_left;

					while (leftMax->right)
					{
						leftMaxP = leftMax;
						leftMax = leftMax->_right;
					}

					cur->_key = leftMax->_key;

					if (leftMaxP->_left == leftMax)
					{
						leftMaxP->_left = leftMax->_left;
					}
					else
					{
						leftMaxP->_right = leftMax->_left;
					}

					delete leftMax;
					return true;
				}
			}

		}

		return false;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

二叉搜索树key和key/value使用场景

key搜索场景

只有key作为关键码，在二叉树结构中只需要存储key即可，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景支持二叉树的增删查，而不支持二叉树的修改，会破坏二叉树的结构。

key/value搜索场景

每一个关键码key，都有与它对应的值value，value可以是任何类型对象。树的结构中(每个节点)除了需要存储key，还需要存储value，增/删/查还是以key为关键字走二叉树的规则进行比较，可以快速找到与key对应的value。并且key/value的搜索场景支持了二叉树的修改，但是仍然不可以修改key，只可以修改value。

key/value二叉搜索树代码实现

	template<class K, class V>

	struct BSTNode
	{
		K _key;
		V _value;
		BSTNode<K, V>* _left;
		BSTNode<K, V>* _right;

		BSTNode(const K& key, const K& value)
			:_key(key)
			, _value(value)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	//搜索二叉树：
	template<class K, class V>

	class BSTree
	{
		typedef BSTNode<K, V> Node;
	public:

		BSTree() = default;

		BSTree(const BSTree<K, V>& m)
		{
			_root = Copy(m._root);
		}

		BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> m)
		{
			swap(_root, m._root);
			return *this;
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key, value);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}

			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (nullptr == cur->_left)
					{
						if (nullptr == parent)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}

						delete cur;
						return true;
					}
					else if (nullptr == cur->_right)
					{
						if (nullptr == parent)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;
						return true;
					}
					else
					{
						Node* rightMinP = cur;
						Node* rightMin = cur->_right;
						while (rightMin->_left)
						{
							rightMinP = rightMin;
							rightMin = rightMin->_left;
						}

						cur->_key = rightMin->_key;

						if (rightMinP->_left == rightMin)
						{
							rightMinP->_left = rightMin->_right;
						}
						else
						{
							rightMinP->_right = rightMin->_right;

						}

						delete rightMin;
						return true;
					}
				}
			}
			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

	private:

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (nullptr == root)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ':' << root->_value << endl;
			_InOrder(root->right);
		}

		void Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);

			delete root;
		}

		Node* Copy(Node* root)
		{
			if (nullptr == root)
			{
				return nullptr;
			}

			Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
			newRoot->_left = Copy(root->_left);
			newRoot->_right = Copy(root->_right);

			return newRoot;
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};

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