递归算法介绍和【题解】——数楼梯

news2024/11/6 3:09:47

递归算法介绍和【题解】——数楼梯

  • 1.递推算法介绍
  • 2.数楼梯
    • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 输入输出样例
      • 输入 #1
      • 输出 #1
    • 提示
  • 1.思路解析
  • 2.AC代码

1.递推算法介绍

    有些目标是宏大的,比如如果你想找到一个好工作,需要先把面试通过。要把面试通过,就需要在大学努力学习。如果想听懂大学的课,就需要先听懂中学的课。想要听懂中学的课,又需要在小学好好听讲……

    在小学好好听讲->听懂中学的课->在大学努力学习->通过面试绩->找到好工作

    像这样,将一个很大的任务分解成规模小一些的子任务,子任务分成更小的子任务,直到遇到初始条件整理归纳解决大任务就是递推和递归思想。

2.数楼梯

通往洛谷的传送门

题目描述

楼梯有 N N N 阶,上楼可以一步上一阶,也可以一步上二阶。

编一个程序,计算共有多少种不同的走法。

输入格式

一个数字,楼梯数。

输出格式

输出走的方式总数。

输入输出样例

输入 #1

4

输出 #1

5

提示

  • 对于 60 % 60\% 60% 的数据, N ≤ 50 N \leq 50 N50
  • 对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ N ≤ 5000 1 \le N \leq 5000 1N5000

1.思路解析

    想要模拟每一种到最后一阶的方法然后累加是不行的,需要花费的时间太长了。

    不过可以发现,想要走到第 i i i阶,就需要先走到第 i − 1 i-1 i1阶或 i − 2 i-2 i2阶。那么走到第 i i i阶的方法数就是走到第 i − 1 i-1 i1阶和走到第 i − 2 i-2 i2阶的方法数之和。

    因此,我们定义一个f数组,f[i]表示走到第i阶的方法数。接下来只要迭代计算f[i]=f[i-1]+f[i-2]就行了。递推中,像f[i]=f[i-1]+f[i-2]这样的式子就叫做递推式。(其实可以发现,它和斐波那契数列有着异曲同工之妙。)

    不过要注意,当i=1i=2时,只需要一步就可以跨上去了。所以需要初始化f[1]=f[2]=1;。像这样的条件就叫做递推边界

    最后,由于数字比较大,需要使用高精度数存储。详见这一篇文章
在这里插入图片描述

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct bigint//定义高精度整形 
{
	int a[100],len;//调试的时候数组大小定小一点,不然会导致栈空间溢出 
	bigint(int x=0)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		if(x==0)
		{
			len=1;
			return;
		}
		for(len=1;x;len++)
		    a[len]=x%10,x/=10;
		len--;
	}
	int &operator[](int i)
	{
		return a[i];
	}
	void print()
	{
		for(int i=len;i>=1;i--)
		    cout<<a[i];
	}
	void flatten(int L)
	{
		len=L;
		for(int i=1;i<=len;i++)
		    a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
		while(!a[len])
		    len--;
	}
	friend bigint operator+(bigint a,bigint b)//只需要实现高精度加法 
	{
		bigint c;
		int _len=max(a.len,b.len);
		for(int i=1;i<=_len;i++)
		    c[i]+=a[i]+b[i];
		c.flatten(_len+1);
		return c;
	}
};
int main()
{
    int n;
	bigint f[5010];//f[i]代表上到第i个台阶的方法数 
    cin>>n;
    f[1]=bigint(1);//初始条件,上到第一个台阶只有1种方案 
	f[2]=bigint(2);//初始条件,上到第二个台阶只有2种方案 
    for(int i=3;i<=n;i++)//从第三个台阶开始循环 
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];//递推式 
    f[n].print();
	return 0;
}

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