递归算法介绍和【题解】——数楼梯
- 1.递推算法介绍
- 2.数楼梯
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 输入输出样例
- 输入 #1
- 输出 #1
- 提示
- 1.思路解析
- 2.AC代码
1.递推算法介绍
有些目标是宏大的,比如如果你想找到一个好工作,需要先把面试通过。要把面试通过,就需要在大学努力学习。如果想听懂大学的课,就需要先听懂中学的课。想要听懂中学的课,又需要在小学好好听讲……
在小学好好听讲
->听懂中学的课
->在大学努力学习
->通过面试绩
->找到好工作
像这样,将一个很大的任务分解成规模小一些的子任务,子任务分成更小的子任务,直到遇到初始条件整理归纳解决大任务就是递推和递归思想。
2.数楼梯
通往洛谷的传送门
题目描述
楼梯有 N N N 阶,上楼可以一步上一阶,也可以一步上二阶。
编一个程序,计算共有多少种不同的走法。
输入格式
一个数字,楼梯数。
输出格式
输出走的方式总数。
输入输出样例
输入 #1
4
输出 #1
5
提示
- 对于 60 % 60\% 60% 的数据, N ≤ 50 N \leq 50 N≤50;
- 对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ N ≤ 5000 1 \le N \leq 5000 1≤N≤5000。
1.思路解析
想要模拟每一种到最后一阶的方法然后累加是不行的,需要花费的时间太长了。
不过可以发现,想要走到第 i i i阶,就需要先走到第 i − 1 i-1 i−1阶或 i − 2 i-2 i−2阶。那么走到第 i i i阶的方法数就是走到第 i − 1 i-1 i−1阶和走到第 i − 2 i-2 i−2阶的方法数之和。
因此,我们定义一个f
数组,f[i]
表示走到第i
阶的方法数。接下来只要迭代计算f[i]=f[i-1]+f[i-2]
就行了。递推中,像f[i]=f[i-1]+f[i-2]
这样的式子就叫做递推式。(其实可以发现,它和斐波那契数列有着异曲同工之妙。)
不过要注意,当i=1
或i=2
时,只需要一步就可以跨上去了。所以需要初始化f[1]=f[2]=1;
。像这样的条件就叫做递推边界。
最后,由于数字比较大,需要使用高精度数存储。详见这一篇文章
2.AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct bigint//定义高精度整形
{
int a[100],len;//调试的时候数组大小定小一点,不然会导致栈空间溢出
bigint(int x=0)
{
memset(a,0,sizeof(a));
if(x==0)
{
len=1;
return;
}
for(len=1;x;len++)
a[len]=x%10,x/=10;
len--;
}
int &operator[](int i)
{
return a[i];
}
void print()
{
for(int i=len;i>=1;i--)
cout<<a[i];
}
void flatten(int L)
{
len=L;
for(int i=1;i<=len;i++)
a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
while(!a[len])
len--;
}
friend bigint operator+(bigint a,bigint b)//只需要实现高精度加法
{
bigint c;
int _len=max(a.len,b.len);
for(int i=1;i<=_len;i++)
c[i]+=a[i]+b[i];
c.flatten(_len+1);
return c;
}
};
int main()
{
int n;
bigint f[5010];//f[i]代表上到第i个台阶的方法数
cin>>n;
f[1]=bigint(1);//初始条件,上到第一个台阶只有1种方案
f[2]=bigint(2);//初始条件,上到第二个台阶只有2种方案
for(int i=3;i<=n;i++)//从第三个台阶开始循环
f[i]=f[i-1]+f[i-2];//递推式
f[n].print();
return 0;
}
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