题目

标题和出处

标题：重新排列后的最大子矩阵

出处：1727. 重新排列后的最大子矩阵

难度

7 级

题目描述

要求

给定一个大小为 $\text{m}\times \text{n}$ 的二进制矩阵 $\text{matrix}$，可以将 $\text{matrix}$ 中的列按任意顺序重新排列。

返回将 $\text{matrix}$ 按照最优方案重新排列后，全是 $\text{1}$ 的最大子矩阵面积。

示例

示例 1：

输入：$\text{matrix = [[0,0,1],[1,1,1],[1,0,1]]}$
输出：$\text{4}$
解释：可以按照上图方式重新排列矩阵的每一列。最大的全 $\text{1}$ 子矩阵是上图中加粗的部分，面积为 $\text{4}$。

示例 2：

输入：$\text{matrix = [[1,0,1,0,1]]}$
输出：$\text{3}$
解释：可以按照上图方式重新排列矩阵的每一列。最大的全 $\text{1}$ 子矩阵是上图中加粗的部分，面积为 $\text{3}$。

示例 3：

输入：$\text{matrix = [[1,1,0],[1,0,1]]}$
输出：$\text{2}$
解释：由于只能按整列重新排布，所以没有比面积为 $\text{2}$ 更大的全 $\text{1}$ 子矩形。

数据范围

• $\text{m}=\text{matrix.length}$
• $\text{n}=\text{matrix[i].length}$
• $\text{1}\le \text{m}\times \text{n}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• $\text{matrix[i][j]}$ 是 $\text{0}$ 或 $\text{1}$

解法

思路和算法

由于对矩阵重新排列的规则是按整列重新排列，因此可以对矩阵的每一列做预处理，对于每个元素 $1$，计算该元素向上的最大连续 $1$ 的个数，然后即可单独处理矩阵的每一行。

经过预处理之后，矩阵中的每个元素更新为该元素向上的最大连续 $1$ 的个数。如果更新后的矩阵中，某一行有 $x$ 个元素不小于 $y$（$x$ 和 $y$ 都是正整数），则说明可以将原矩阵重新排列，使得重新排列的矩阵中存在一个以该行为底边的全 $1$ 子矩阵，该子矩阵的宽度是 $x$，高度是 $y$，面积是 $xy$。

为了得到最大全 $1$ 子矩阵的面积，可以将更新后的矩阵的每一行排序，然后对矩阵的每一行按照从大到小的顺序遍历，计算以该行为底边的最大全 $1$ 子矩阵面积。

对于矩阵的某一行，假设第 $k$ 大的元素是 ${\text{val}}_k$（$k\ge 1$），则该行有至少 $k$ 个元素不小于 ${\text{val}}_k$，$k$ 个最大元素组成的全 $1$ 子矩阵面积是 ${\text{val}}_k\times k$。从大到小遍历该行的每个元素，当元素大于 $0$ 时使用元素值与元素的排序编号（第 $k$ 大的元素的排序编号是 $k$）计算全 $1$ 子矩阵面积，并维护最大全 $1$ 子矩阵面积。当遍历到等于 $0$ 的元素时，该行剩余的元素都是 $0$，该行内不可能再遇到全 $1$ 子矩阵，因此结束遍历该行。

遍历更新后的矩阵的每一行之后，即可得到最大全 $1$ 子矩阵面积。

代码

class Solution {
    public int largestSubmatrix(int[][] matrix) {
        int maxArea = 0;
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == 1) {
                    matrix[i][j] = matrix[i - 1][j] + 1;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int[] row = matrix[i];
            Arrays.sort(row);
            for (int j = n - 1, k = 1; j >= 0 && row[j] > 0; j--, k++) {
                int area = row[j] * k;
                maxArea = Math.max(maxArea, area);
            }
        }
        return maxArea;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(mn\log n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵 $\text{matrix}$ 的行数和列数。遍历并更新矩阵需要 $O(mn)$ 的时间，对更新后的矩阵的每一行排序共需要 $O(mn\log n)$ 的时间，计算最大面积需要 $O(mn)$ 的时间，时间复杂度是 $O(mn\log n)$。

• 空间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 是矩阵 $\text{matrix}$ 的列数。对更新后的矩阵的每一行排序需要 $O(\log n)$ 的递归调用栈空间。