前言

在二维矩阵中寻找最大正方形的问题是动态规划的一个经典应用。这个问题不仅考察我们对二维数组的操作，还需要我们理解如何通过递推公式优化解法。矩阵中的每个元素都可能成为一个正方形的一部分，而我们要做的就是利用之前的计算结果，在矩阵的每个位置处找到能够扩展出的最大正方形。

本文将介绍如何通过动态规划方法解决这一问题。我们会逐步分析递推关系，并通过 Python 和 C++ 代码示例展示具体的实现，并在最后总结代码的实现细节。

题目描述

基本思路

1. 问题定义:

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵中，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

2. 理解问题和递推关系:

• 该问题的本质是求解在矩阵中可以组成最大正方形的边长，并最终返回其面积。
• 假设 $dp[i][j]$ 表示以位置 $(i,j)$ 为右下角的最大正方形的边长。为了构成一个更大的正方形，要求该位置的左边、上边和左上角位置的 $dp$ 值都要有足够的边长。因此，状态转移方程为：

$$dp[i][j]=\min (dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1$$

其中， $dp[i-1][j]$ 表示上边的正方形边长， $dp[i][j-1]$ 表示左边的正方形边长， $dp[i-1][j-1）$表示左上角的正方形边长。三者的最小值加上当前的 $1$ 就可以组成一个新的正方形。

• 边界条件：如果当前位置的值是 ’ $0^{\prime }$ ，那么 $dp[i][j]=0$ ，因为无法形成任何正方形。

3. 解决方法:

3.1 动态规划方法

1. 创建一个二维数组 $dp,dp[i][j]$ 表示以 $matrix[i][j]$ 为右下角的最大正方形的边长。
2. 初始化 $dp$ 的第一行和第一列，直接等于矩阵的第一行和第一列的值，因为这些位置无法通过左上、上、左来扩展。
3. 从第二行、第二列开始，依次计算 $dp[i][j]$ ，并记录最大正方形的边长。
4. 结果为最大边长的平方，即最大正方形的面积。

3.2 空间优化的动态规划

• 由于每次计算 $dp[i][j]$ 时只依赖于左边、上边和左上角的位置, 因此可以通过一维数组优化空间复杂度。
• 在计算过程中，我们只需要保存当前行和前一行的数据，从而将空间复杂度优化为 $O(n)$ 。

4. 进一步优化:

• 空间优化：使用一维数组来代替二维 $dp$ 数组，通过滚动数组的方式减少空间量杂度，从 $O(m\ast n)$ 降低到 $O(n)$ 。

5. 小总结:

• 动态规划方法通过逐步扩展矩阵中的 ${}^{\prime }{1}^{\prime }$，计算出可以形成的最大正方形。该方法在时间昜杂度和空间昜杂度上表现较为优采。
• 通过优化空间复杂度，可以将存储空间减少到 $O(n)$ ，适用于大规模数据处理。动态规划问题的核心在于找到合理的递推关系，并根据问题特点优化计算过程。

以上就是最大正方形问题的基本思路。

代码实现

Python3代码实现

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: list[list[str]]) -> int:
        if not matrix or not matrix[0]:
            return 0
        
        rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
        dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]
        max_side = 0
        
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if matrix[i][j] == '1':
                    if i == 0 or j == 0:  # 边界条件，第一行或第一列
                        dp[i][j] = 1
                    else:
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
                    max_side = max(max_side, dp[i][j])
        
        # 最大面积
        return max_side * max_side

Python 代码解释

• 初始化：首先初始化 $dp$ 数组，$dp[i][j]$ 用于记录以 $(i,j)$ 为右下角的最大正方形的边长。然后，遍历矩阵的每个元素。
• 递推公式：当遇到矩阵元素为 1 时，计算 $dp[i][j]$ 的值。$dp[i][j]$ 取决于左边、上边和左上角三个位置中最小的 $dp$ 值，然后加$1$。
• 边界条件：如果元素位于第一行或第一列，无法从上方或左方扩展正方形，因此直接将 $dp[i][j]$ 设为$1$。
• 结果计算：每次计算时更新最大边长 max_side，最后返回最大边长的平方，即最大正方形的面积。

C++代码实现

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
        
        int rows = matrix.size();
        int cols = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> dp(rows, vector<int>(cols, 0));
        int max_side = 0;
        
        for (int i = 0; i < rows; ++i) {
            for (int j = 0; j < cols; ++j) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (i == 0 || j == 0) {  // 边界条件，第一行或第一列
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
                    }
                    max_side = max(max_side, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        
        // 最大面积
        return max_side * max_side;
    }
};

C++ 代码解释

• 初始化：首先创建 dp 数组，dp[i][j] 用于存储以 (i, j) 为右下角的最大正方形边长。初始化最大边长 max_side。
• 动态规划递推：遍历矩阵中的每个位置。当 matrix[i][j] == '1' 时，通过递推公式计算 dp[i][j]，更新 max_side。
• 边界条件：对于第一行或第一列，直接将 dp[i][j] 设为1，因为无法通过左上、上方和左方扩展正方形。
• 结果计算：最终返回最大边长的平方，即最大正方形的面积。

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