猴子都看不懂的矩阵乘法——由向量乘矩阵到矩阵乘矩阵

news2024/12/27 14:42:24

矩阵乘法

~~仅为初学者的理解，不喜勿喷~~

矩阵，即为如下形式的结构：

$\begin{matrix} 0&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&1\\ \end{matrix}$

既然你准备仔细阅读这篇文章，那么相信你应对矩阵(matrices)有一定的了解，这里就不再赘述，直接进入正题。

首先，要明确的是，矩阵乘法不同于数乘，用一个比喻应该把它当成普通式子计算的外语来学，不带着对普通式子的想法来学线性代数，或许会轻松很多。

1.向量乘法

矩阵乘法的前置内容应当懂得向量乘法，这里简单回顾一下。

$\vec{a}$ = (x , y , z) , $\vec{b}$ = ( i , j , k )

$\vec{a} \cdot \vec{b}=$ xi + yj + zk

好了，敲黑板，上面的算法使我们大家都知道的，但是我们现在引入一个新的概念：线性组合，下面便是向量a和向量b的线性组合的例子。

$m\vec{a} + n\vec{b}$

此时的m与n取任意值都能得到一个向量a和向量b的线性组合。

线性组合的概念后面会经常提到，请把它当成如实数一样的基本名词放在心上。

2.矩阵乘向量

例：

$\left[ \begin{matrix} 2a+3b+4c \\ 2d+3e+4f\\ 2g+3h+4i \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right] \tag{1}$

ok，这里是第一个关于矩阵乘法反常识或者说与普通乘法不一样的东西，那就是乘数在左还是在右有区别。

上面这个例子就是向量右乘矩阵（向量在矩阵右侧）。

如你所见，右乘和是以列(column)为计算的中心，而这点正如我所比喻的外语一样，需要你把这个语法硬记下来。下面解释上方的式子。

在这里插入图片描述

如图，向量乘矩阵可以拆分成系数乘列向量(因为是右乘)。

这种写法，结合到上面所提的线性组合，我们可以说列向量乘矩阵是矩阵每个列的一种线性组合。好生体会一下这种说法。

同理，下面是一个左乘（向量在矩阵左侧）的例子。

假设我们有一个1x3的行向量 $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ 和一个3x3的矩阵 $\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$ 。注意，行向量 $\vec{u}$ 的维度是1x3，而矩阵 $A$ 的维度是3x3，因此它们的乘积将是一个1x3的行向量。

进行矩阵乘法运算：

$\vec{u}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$

计算过程如下：

$\vec{u}A = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10, & 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 11, & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 12 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 + 14 + 30, & 5 + 16 + 33, & 6 + 18 + 36 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 48, & 54, & 60 \end{pmatrix}$