微积分-反函数6.3（对数函数）

news2024/9/29 11:29:39

如果 $b > 0$ 且 $\neq 1$ ，则指数函数 $f(x) = b^x$ 不是递增就是递减，因此它是通过水平线测试的单调函数。所以它具有反函数 $f^{-1}$ ，称为以 $b$ 为底的对数函数，记作 $log_b$ 。如果我们使用反函数的表达式：

$f^{-1}(x) = y \iff f(y) = x$

那么我们有：

$\log_b x = y \iff b^y = x \tag{1}$

因此，如果 $x > 0$ ，则 $log_b x$ 是底数 $b$ 必须升到的指数以得到 $x$ 。

例1 求解下列对数：(a) $log_3 81$ , (b) $log_{25} 5$ , (c) $log_{10} 0.001$

解：

(a) $log_3 81 = 4$ ，因为 $3^4 = 81$

(b) $\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$ ，因为 $25^{1/2} = 5$

消去方程应用于函数 $f(x) = b^x$ 和 $f^{-1}(x) = \log_b x$ 时，变为：

$\tag{2}\begin{align*} \log_b(b^x) &= x \quad \text{for every} \ x \in \mathbb{R}\\ b^{\log_b x} &= x \quad \text{for every} \ x > 0 \end{align*}$

对数函数 $log_b$ 的定义域是 $\infty)$ ，值域是 $\mathbb{R}$ ，并且它是连续的，因为它是一个连续函数的反函数，即指数函数。它的图像是 $y = b^x$ 关于直线 $y = x$ 的反射。

图 1 显示了 $b > 1$ 的情况。（最重要的对数函数的底数 $b > 1$ 。）事实上， $y = b^x$ 是一个在 $x > 0$ 时快速增长的函数，这反映在 $y = \log_b x$ 是一个在 $x > 1$ 时缓慢增长的函数。

在这里插入图片描述

图 2 显示了 $y = \log_b x$ 在不同底数 $b > 1$ 下的图像。因为 $log_b 1 = 0$ ，所以所有对数函数的图像都经过点 $(1, 0)$ 。

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以下定理总结了对数函数的性质。

定理 3 如果 $b > 1$ ，则函数 $f(x) = \log_b x$ 是一个一一对应的、连续的、递增的函数，定义域为 $\infty)$ ，值域为 $\mathbb{R}$ 。如果 $x, y > 0$ 且 $r$ 是任意实数，那么：

$log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
$\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y$
$log_b (x^r) = r \log_b x$

例2 使用定理 3 中的对数性质来求解以下问题：

(a) $log_4 2 + \log_4 32$

(b) $log_2 80 - \log_2 5$

解

(a) 使用定理 3 中的性质 1，我们有：

$\log_4 2 + \log_4 32 = \log_4 (2 \cdot 32) = \log_4 64 = 3$

因为 $4^3 = 64$ 。

(b) 使用定理 3 中的性质 2，我们有：

$\log_2 80 - \log_2 5 = \log_2 \left( \frac{80}{5} \right) = \log_2 16 = 4$

因为 $2^4 = 16$ 。

指数函数在第 6.2 节中给出的极限，反映在以下对数函数的极限中。（与图 1 比较。）

4
如果 $b > 1$ ，那么：
$\lim_{x \to \infty} \log_b x = \infty \quad \text{和} \quad \lim_{x \to 0^+} \log_b x = -\infty$

特别地，y 轴是曲线 $y = \log_b x$ 的垂直渐近线。

例3 求 $\lim_{x \to 0} \log_{10} (\tan^2 x)$ 。

解当 $\to 0$ 时，我们知道 $\tan^2 x \to \tan^2 0 = 0$ ，并且 $t$ 的值是正的。因此，根据定理 4（其中 $b = 10 > 1$ ），我们有：

$\lim_{x \to 0} \log_{10} (\tan^2 x) = \lim_{t \to 0^+} \log_{10} t = -\infty$

自然对数

在所有可能的对数底数 $b$ 中，我们将在下一节中看到，最方便的底数选择是数字 $e$ ，它在第 6.2 节中定义。以 $e$ 为底的对数称为自然对数，并有一个特殊的符号表示：

$log_e x = \ln x$

如果我们将 $b = e$ ，并用“ $\ln$ ”代替 $log_e$ 在公式 (1) 和 (2) 中的符号，则自然对数函数的定义性质变为：

$\ln x = y \iff e^y = x \tag{5}$

$\begin{align*} \ln (e^x) &= x \quad x \in \mathbb{R}\\ e^{\ln x} &= x \quad x > 0 \end{align*}$

特别地，如果我们取 $x = 1$ ，我们得到：

$\ln e = 1$

例4 如果 $\ln x = 5$ ，求 $x$ 。

解法 1 从性质 (5) 我们知道：

$\ln x = 5 \quad \text{means} \quad e^5 = x$

因此， $x = e^5$ 。

（如果使用 “( \ln )” 符号有困难，只需将其替换为 ( \log_e )。那么这个方程变为 ( \log_e x = 5 )，因此根据对数的定义，( e^5 = x )。）

解法 2

从方程 $\ln x = 5$ 开始。

对方程的两边应用指数函数：

$e^{\ln x} = e^5$

但根据消去方程 (6) 的第二条性质， $e^{\ln x} = x$ 。因此， $x = e^5$ 。

例5 解方程 $e^{5 - 3x} = 10$ 。

解

我们对方程两边取自然对数并使用性质 (6)：

$\begin{align*} \ln(e^{5 - 3x}) &= \ln 10\\ 5 - 3x &= \ln 10\\ 3x &= 5 - \ln 10\\ x &= \frac{1}{3}(5 - \ln 10) \end{align*}$

因为自然对数可以在科学计算器上找到，我们可以近似解：四舍五入到四位小数， $\approx 0.8991$ 。

例6 将 $\ln a + \frac{1}{2} \ln b$ 表示为单个对数。

解使用对数的性质 3 和性质 1，我们得到：

$\begin{align*} \ln a + \frac{1}{2} \ln b &= \ln a + \ln b^{1/2}\\ &= \ln a + \ln \sqrt{b}\\ &= \ln(a \sqrt{b}) \end{align*}$

7 换底公式 对于任意正数 $b$ ( $\neq 1$ )，我们有：
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$

证明设 $y = \log_b x$ 。根据公式 (1)，我们有 $b^y = x$ 。对方程两边取自然对数，我们得到：

$\ln b = \ln x$

因此：

$\frac{\ln x}{\ln b}$

这证明了换底公式。

科学计算器通常都有计算自然对数的功能，因此公式 7 使我们可以使用计算器来计算任意底数的对数（如以下示例所示）。类似地，公式 7 还允许我们在图形计算器或计算机上绘制任意底数的对数函数。

例7 求 $log_8 5$ 并精确到小数点后六位。

解根据公式 7：

$\log_8 5 = \frac{\ln 5}{\ln 8} \approx 0.773976$

自然对数的图像与增长

指数函数 $y = e^x$ 及其反函数——自然对数函数的图像，如图 3 所示。由于曲线 $y = e^x$ 以斜率 1 通过 $y$ 轴，因此其反射曲线 $\ln x$ 以斜率 1 通过 $x$ 轴。

在这里插入图片描述

与所有底数大于 1 的其他对数函数一样，自然对数是一个定义在 $\infty)$ 上的连续递增函数，并且 $y$ 轴是其垂直渐近线。

如果我们在公式 (4) 中将 $b = e$ ，那么我们有以下极限：

$\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \quad \text{和} \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \tag{8}$

例8 绘制函数 $\ln(x - 2) - 1$ 的图像。

解我们从图 3 中给出的 $\ln x$ 的图像开始。根据第 1.3 节的变换规则，我们将图像向右移动 2 个单位，得到 $\ln(x - 2)$ 的图像。然后我们将其向下移动 1 个单位，得到 $\ln(x - 2) - 1$ 的图像。（参见图 4。）
在这里插入图片描述

请注意，直线 $x = 2$ 是垂直渐近线，因为：

$\lim_{x \to 2^+} [\ln(x - 2) - 1] = -\infty$

我们已经看到，当 $\to \infty$ 时， $\ln x \to \infty$ 。但这发生得非常缓慢。实际上， $\ln x$ 的增长比 $x$ 的任何正幂都要慢。为了说明这一点，我们比较了函数 $\ln x$ 和 $x^{1/2} = \sqrt{x}$ 的近似值，如表格中所示，并在图 5 和图 6 中绘制了它们的图像。