这是基础题！！原则上必须要在第一轮初学并做完课后习题之后再做这个基础题，不能有错误（马虎大意除外）或无法解答。如有错误，该单元需要重学！！

多元函数微分学填空题

一、填空题

1. 如果函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数存在，则该偏导数的几何意义是 _____ 。
2. 函数 f(x, y) = x^2 + y^2 的等位线是一系列 _____ 。
3. 若 lim(x,y)→(0,0) f(x, y) 存在，则对于任意趋近于 (0, 0) 的路径，f(x, y) 的值都 _____ 。
4. 如果 lim(x,y)→(a,b) f(x, y) 沿着两条不同的路径得到的极限值不同，则可以断定 _____ 。
5. 如果函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处二阶混合偏导数 fxy 和 fyx 都 _____ ，则 fxy(a, b) = fyx(a, b)。
6. z = f(x, y) 的全微分 dz = _____ dx + _____ dy 。
7. 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处沿方向 l 的方向导数等于 _____ 与 _____ 的点积。
8. 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处变化率最大的方向是 _____ 的方向。
9. 函数 f(x, y) 的等位线 f(x, y) = c 在点 (x0, y0) 处的切线斜率为 _____ 。
10. 等位面 f(x, y, z) = c 在点 (x0, y0, z0) 处的法向量是 _____ 。
11. 函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处的线性化函数 L(x, y) = _____ 。
12. 如果点 (a, b) 是函数 f(x, y) 的极值点，则必有 fx(a, b) = _____ 且 fy(a, b) = _____ 。
13. 若函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处的 Hessian 矩阵正定，则 (a, b) 是函数 f(x, y) 的 _____ 点。

二、图像绘制题

1. 绘制函数 z = x^2 - y^2 的图像，并说明其图形特征。
2. 绘制函数 f(x, y) = √(x^2 + y^2) 在点 (1, 1) 处的梯度向量。
3. 已知函数 z = f(x, y) 的等位线如下图所示，请在图中标出函数在点 A 处的梯度方向。

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答案

一、填空题答案

1. 曲面 z = f(x, y) 在点 (x0, y0, f(x0, y0)) 处沿 x 轴方向的切线斜率.
2. 以原点为圆心的同心圆。
3. 相等。
4. lim(x,y)→(a,b) f(x, y) 不存在。
5. 连续。
6. ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
7. 梯度向量, 方向 l 的单位向量。
8. 梯度。
9. -fx(x0, y0) / fy(x0, y0)。
10. (fx(x0, y0, z0), fy(x0, y0, z0), fz(x0, y0, z0))。
11. f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)。
12. 0, 0。
13. 极小值。

二、图像绘制题答案

1. **
   ** 图形特征：该图形为马鞍面，在 x 轴方向开口向上，在 y 轴方向开口向下。
2. **
   **
3. **
   ** 梯度方向垂直于等位线，指向函数值增大的方向。

参考书：托马斯微积分si第十四版下册P759-P823，拉格朗日乘子，多元泰勒公式，变量约束的偏导数合并到提高部分