代码随想录Day 59|图论Part09，dijkstra（堆优化版）精讲、Bellman

提示：DDU，供自己复习使用。欢迎大家前来讨论~

文章目录

图论part09
- dijkstra（堆优化版）精讲
- - 图的存储
  - - 邻接矩阵
    - 邻接表
- Bellman_ford 算法精讲
- - 模拟过程
  - 代码
  - 总结

图论part09

dijkstra（堆优化版）精讲

图的存储

首先是图的存储。

关于图的存储主流有两种方式：邻接矩阵和邻接表

邻接矩阵

邻接矩阵使用二维数组来表示图结构。邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

例如： grid[2][5] = 6，表示节点 2 链接节点5 为有向图，节点2 指向节点5，边的权值为6 （套在题意里，可能是距离为6 或者消耗为6 等等）

如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与节点5 相互连通，权值为6。

如图：

在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间，有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6

这种表达方式（邻接矩阵）在边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。

而且在寻找节点链接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。

邻接矩阵的优点：

表达方式简单，易于理解
检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

缺点：

遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费且遍历边的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

邻接表

邻接表使用数组 + 链表的方式来表示。邻接表是从边的数量来表示图，有多少边才会申请对应大小的链表。

邻接表的构造如图：

这里表达的图是：

节点1 指向节点3 和节点5
节点2 指向节点4、节点3、节点5
节点3 指向节点4，节点4指向节点1。

有多少边邻接表才会申请多少个对应的链表节点。

从图中可以直观看出使用数组 + 链表来表达边的链接情况。

邻接表的优点：

对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
遍历节点链接情况相对容易

缺点：

检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
实现相对复杂，不易理解

Dijkstra算法（朴素版）的重点：

使用两层for循环遍历所有节点，寻找最近的未访问节点。
更新minDist数组来记录源点到每个节点的最短距离。
需要维护一个visited数组来标记节点是否已被访问。

Dijkstra算法（堆优化版）的重点：

使用邻接表来表示图，其中每个节点的邻接链表包含指向的节点和边的权重。
利用优先队列（小顶堆）自动排序边的权值，每次从堆顶取出权值最小的边。
更新操作与朴素版类似，但使用邻接表来遍历节点的邻接节点，并将新的边加入优先队列。

堆优化dijkstra完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std; 
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
    bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
        return lhs.second > rhs.second;
    }
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
    int to;  // 邻接顶点
    int val; // 边的权重

    Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<list<Edge>> grid(n + 1);

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val; 
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid[p1].push_back(Edge(p2, val));

    }

    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    std::vector<bool> visited(n + 1, false); 
    
    // 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;


    // 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
    pq.push(pair<int, int>(start, 0)); 
    
    minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

    while (!pq.empty()) {
        // 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
        // <节点， 源点到该节点的距离>
        pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

        if (visited[cur.first]) continue;

        // 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
        visited[cur.first] = true;

        // 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
        for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
            // cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
            if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
                minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
                pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
            }
        }

    }

    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量

Bellman_ford 算法精讲

适用于存在负权边的图。
核心思想是对所有边进行“松弛操作”，迭代n-1次，每次尝试更新所有节点的最短路径。
“松弛操作”是指如果通过某个中间节点可以找到一条更短的路径到达目标节点，则更新该路径。
算法可以检测图中是否存在负权环，因为如果经过多次迭代后路径还能被继续松弛，则说明存在负权环。
时间复杂度为O(nm)，其中n是节点数，m是边数。

模拟过程

用一个简单的例子来模拟Bellman-Ford算法的过程：

假设我们有以下四个节点的图，其中边的数字表示权重（费用），并且存在负数权重：

节点1 --(-1)--> 节点2 --(3)--> 节点3
       |                ^
       |                |
       (2)             (4)
       |                |
       v                v
    节点4 <--(5)-- 节点3

我们要求从节点1到节点4的最短路径。

初始步骤：

为每个节点设置一个初始距离值，源节点（节点1）的距离设为0，其他所有节点的距离设为无穷大。
距离数组：dist[1] = 0, dist[2] = ∞, dist[3] = ∞, dist[4] = ∞

第一次迭代：

考虑节点1的边：节点1到节点2的距离为-1，更新dist[2] = -1。

第二次迭代：

考虑节点2的边：节点2到节点3的距离为3，加上节点2的距离-1，得到节点3的距离为2，更新dist[3] = 2。
同时，节点2到节点4的距离为5，但因为dist[2] + 5不等于dist[4]，所以不更新。

第三次迭代：

考虑节点3的边：节点3到节点4的距离为4，加上节点3的距离2，得到节点4的距离为6，不更新dist[4]，因为此时dist[4]的值应该更小（之前没有设置）。

第四次迭代：

考虑节点1的边：节点1到节点4的距离为2，更新dist[4] = 2。

后续迭代：

继续迭代，但不再有任何更新，因为所有可达节点的距离都已经被更新到最短。

最终结果：

dist[1] = 0, dist[2] = -1, dist[3] = 2, dist[4] = 2

在这个过程中，我们发现节点4的最短路径是2，通过路径节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4。

如果在n次迭代之后仍然有更新，那么说明图中存在负权环，因为理论上最短路径应该在n-1次迭代后就已经确定。在这个例子中，我们没有遇到这种情况。

代码

理解上面讲解的内容，代码就更容易写了，本题代码如下：（详细注释）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    // 将所有边保存起来
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});

    }
    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[start] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次
        for (vector<int> &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛
            int from = side[0]; // 边的出发点
            int to = side[1]; // 边的到达点
            int price = side[2]; // 边的权值
            // 松弛操作 
            // minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发
            if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) { 
                minDist[to] = minDist[from] + price;  
            }
        }
    }
    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径

}

时间复杂度： O(N * E) , N为节点数量，E为图中边的数量
空间复杂度： O(N) ，即 minDist 数组所开辟的空间

总结

Bellman-Ford算法的重点：

处理负权边：Bellman-Ford算法能够处理包含负权边的图，这与Dijkstra算法不同，后者只适用于非负权边的图。
迭代松弛：算法通过反复进行松弛操作来尝试更新每个节点的最短路径估计，通常需要进行n-1次迭代，其中n是节点的数量。如果在第n次迭代中仍然可以更新路径，这表明存在负权环。