本文关键词：

误差传递函数、laplace终值定理、稳态误差、系统型别（0型、I型、II型系统）

目录

1、求误差传递函数

2、求稳态误差

2.1 Laplace终值定理的使用条件

3、系统型别（I型、II型、III型系统）

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1、求误差传递函数

一个经典的负反馈系统如下：

    图1

图中R为输入信号、G为系统的前向传递函数、H为反馈传递函数、C为输出信号

E为误差信号、B为反馈信号。

上图输入输出的关系，用负反馈公式可以直接写出：

    ---------式1

上图研究的是从输入R到输出C的关系，本文要研究输入R到误差E的关系，只需对上图做一点形式上的变化，依次变化如下：

图 2

根据上图最右，还是利用负反馈公式，可以轻松写出E与R的关系：

---------式2

2、求稳态误差

下面求图1所示闭环系统的稳态误差。

所谓稳态误差，就是求t=∞的e(t)的值，这个值一般有3种情况：0、恒值、无穷。还有第4种是e(t)为正弦时，不存在稳态值。

首先要回顾两个知识点：

（1）稳态误差跟输入信号的形式有关，有些系统可以无静差的跟踪阶跃信号，但是却无法无静差的跟踪斜坡信号，所以求稳态误差，必须先指定输入信号的形式（也即必须给出输入信号的时域表达式或传函）

（2）所谓稳态误差，就是在t=∞时，反馈信号与输入信号的差值，可以用laplace终值定理来求：

           （式3）

需要注意的是，使用终值定理是有条件的：s*E(s)除了至多允许一个极点在原点处以外，其余极点必须都在左半平面。

2.1 Laplace终值定理的使用条件

上面终止定理的使用条件，可以这样理解：

按照系统的稳定性原理，E(s)的极点必须全部在左半平面，这样e(t)的所有模态项A*e^(-σt)才能在t=∞时趋于0，哪怕有一个极点在虚轴Y轴上都不行（2个共轭，或1个在原点），这种虽然名义上叫临界稳定，实际工程上根本就不可能稳定，两种情况：①极点在原点，系统表达式展开为分式后，必含有积分项，也即形如A/(s-0)=A/s，虽然理论上该项对应的时域函数为常数A*1（见上表）。②在虚轴上有2个共轭极点，这种系统的模态必含2项：A*sin(wt*a)、B*cos(wt*a)，这种必为等幅振荡。

以后再补，没理解 https://www.zhihu.com/question/50627708

3、系统型别（I型、II型、III型系统）

系统型别的描述对象是系统的开环传递函数，也即图1中的G(s)*H(s)

而稳态误差是图1的闭环稳态误差。

系统型别这一理论的意义在于，不必求出系统的闭环传函，仅通过观察开环传函G*H，即可确定出系统闭环后的稳态误差。

系统的开环传函一定可以整理为以下形式：

     式4

其中极点在原点处的重数v，称为系统型别，v=0就叫0型系统，v=1就叫I型系统。。。

由于在s->0时，式4可以简化为    式5

把式5带入终值定理式3中，得到：

    式6

对于0型系统，当R为阶跃信号时，R(s)=1/s，带入式6得到：

，可见对于开环传函为0型的系统，其闭环阶跃响应存在稳态误差，举个现实的例子，一阶系统1/(Ts+1)，做闭环P控制，式存在稳态误差的，至少要用PI控制器，才能消除稳态误差。PI控制器中的I，就相当于提高了系统的型别

对于I型系统，阶跃稳态误差为：把v=1带入式6的第二个等号，得到：

可见，对于I型系统，闭环阶跃响应是无静差的。

接下来不再一个个推导了，直接列出结论：

（1）对于阶跃输入r(t)=1，闭环后的v=0型系统，误差为常数，v>=1的系统，无静差

（2）对于斜坡输入r(t)=t，闭环后的v=0型系统，误差为无穷，v=1的系统，误差为常数，v>=2的系统，无静差

（3）对于加速度输入r(t)=t^2，闭环后的v<=1型系统，误差为无穷，v=2的系统，误差为常数，v>=3的系统，无静差.

依次类推。