数据结构讲解二叉树【一】

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C语言二叉树【一】

前言
一、数概念及结构
- 1.数的概念
- 1.2树的相关概念
- 1.3树的表示
二、二叉树的概念及结构
- 2.1
- 2.2二叉树的性质
- 2.3二叉树的存储结构
三、二叉树的顺序结构实现
- 3.1二叉树的顺序结构
- 3.2堆的概念及结构
- 3.3堆的实现
- - 3.3.1堆向下调整算法
  - 3.3.2堆的删除元素
  - 3.3.3堆的插入元素
四、源码

前言

在数据结构中，二叉树作为步入实现复杂结构的门栏，为后续的图，排序衔接紧密，因此我将详细讲解二叉树，初定分为三至五篇文章讲解。 💖The Begin💖点点关注，收藏不迷路💖 文章干货满满，还请您细细品读，如果您觉得作者写得不错，抑或对您有所帮助，不妨给俺点个免费的赞和玩玩呢？关注作者不迷路，后续将有更多原创内容更新哟

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一、数概念及结构

1.数的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
在这里插入图片描述

1.2树的相关概念

在这里插入图片描述

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1;    // 第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data;               // 结点中的数据域
};
代码的实际示例图如下：

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二、二叉树的概念及结构

2.1

这里我们主要介绍两种特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.2二叉树的性质

在这里插入图片描述

2.3二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* left;   // 指向当前结点左孩子
    struct BinTreeNode* right;  // 指向当前结点右孩子
    BTDataType data;            // 当前结点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* parent; // 指向当前结点的双亲
    struct BinTreeNode* left;   // 指向当前结点左孩子
    struct BinTreeNode* right;  // 指向当前结点右孩子
    BTDataType data;            // 当前结点值域
}；

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三、二叉树的顺序结构实现

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { $k_0$ ， $k_1$ ， $k_2$ ，…， $k_{n-1}$ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： $K_i$ <= $K_{2*i+1}$ 且 $K_i$ <= $K_{2*i+2}$ ( $K_i$ >= $K_{2*i+1}$ 且 $K_i$ >= $K_{2*i+2}$ ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3.3堆的实现

3.3.1堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。
向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
通过示意图展现向下调整过程：

// 左右子树都是大堆/小堆
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		// 选出左右孩子中大的那一个
		if (child + 1 < n && a[child+1] > a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.3.2堆的删除元素

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

在这里插入图片描述

这里很多初学者都会有疑问，为什么我们在删除根节点后，不直接用他的儿子替代，一次挪动，这样不是更加方便吗？
我想，可以通过这张示意图来解答大家的困惑。首先，我们发现挪动看似逻辑简单，然而它带来了许多问题，，它直接改变了树的父子兄弟关系，在这时候，很有可能就不满足堆的概念了，不再是顺序结构了。
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
	// 删除数据
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.3.3堆的插入元素

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

// 除了child这个位置，前面数据构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)
	while(child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}


void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * php->capacity*2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

四、源码

heap.c

#include "Heap.h"

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*4);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	php->size = 0;
	php->capacity = 4;
}

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType x = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = x;
}

// 除了child这个位置，前面数据构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)
	while(child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * php->capacity*2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

// 左右子树都是大堆/小堆
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		// 选出左右孩子中大的那一个
		if (child + 1 < n && a[child+1] > a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	// 删除数据
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->a[0];
}

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

text.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"

//int main()
//{
//	HP hp;
//	HeapInit(&hp);
//	HeapPush(&hp, 4);
//	HeapPush(&hp, 18);
//	HeapPush(&hp, 42);
//	HeapPush(&hp, 12);
//	HeapPush(&hp, 21);
//	HeapPush(&hp, 3);
//	HeapPush(&hp, 5);
//	HeapPush(&hp, 5);
//	HeapPush(&hp, 50);
//	HeapPush(&hp, 5);
//	HeapPush(&hp, 5);
//	HeapPush(&hp, 15);
//	HeapPush(&hp, 5);
//	HeapPush(&hp, 45);
//	HeapPush(&hp, 5);
//
//	int k = 0;
//	scanf("%d", &k);
//	while (!HeapEmpty(&hp) && k--)
//	{
//		printf("%d ", HeapTop(&hp));
//		HeapPop(&hp);
//	}
//	printf("\n");
//
//	return 0;
//}
heap.h