#################本文为学习《图论算法及其MATLAB实现》的学习笔记#################

深度优先搜索算法(DepthFirst Search),简记DFS算法,是图论中的首要算法,其思想方法渗透到图论中的许多算法之中,尤其是DFS算法在求生成树、割点、块和平面图嵌入算法中起着极为关键的作用。

算法用途

DFS算法的MATLAB实现

算法思想

①标记一切边“未用过”,对任意顶点。令。

②。

③若没有“未用过”的关联边,转⑤。

④ 选一条“未用过”的与关联的边,标记 “用过”。若,转③;否则转②。

⑤ 若 停止。

⑥ ,转③。
其中,上述中的k(v)称为顶点υ的DFS编码;f(u)称为顶点v的父,称为f(v)的子,且以 f(v)为始点、为终点的有向边称为父子边。
根据上述DFS算法,易知该算法的复杂度为,并得出定理4.19,由此可见,用DFS算法可以找出连通图的某固定顶点的外向生成树。

定理4.19设连通图G,则由DFS中产生的父子边导出的子图是以s为根的外向生成树,并日在返回边中,或a是b的祖先,或a是b的后代孙。

程序参数说明

G: 图的邻接矩阵 
W: 图的边的访问顺序，按照顺序从小到大访问
k: 图的顶点标号
f: 相应顶点的父亲顶点

算法程序详解

%深度优先搜索算法
function [W, k, f] = DFS3(G)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%% 输入：     G: 图的邻接矩阵 
%%%%%%%%% 输出：     W: 图的边的访问顺序，按照顺序从小到大访问
%%%%%%%%%            k: 图的顶点标号
%%%%%%%%%            f: 相应顶点的父亲顶点
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

n = size(G,1);          % 计算顶点数
W = G;
v = 1;
k = zeros(1,n);         % 返回标号数组
f = zeros(1,n);         % 返回相应顶点的父亲顶点数组
b = sum(sum(W == 1));   % 计算未标号的总边数
c = sum(k == 0);        % 未标号的顶点数
d = 1;
if b == 0 & c == 0 & v == 1
    d = 0;
end
k(1) = 1;
j = 2;
l = 2;

while d
    %%%%%%%% 步骤3 %%%%%%%%
    a = find( W(v,:) == 1 );    % 返回与父亲顶点相关联的顶点
    
    %%%%%%%% 步骤5 %%%%%%%%
    if isempty(a) & f(v) ~= 0
        W(v,f(v)) = l;      % 将用过的边进行标号
        l = l + 1;          % 更新边标号
        v = f(v);
    else
        %%%%%%%% 步骤4 %%%%%%%%
        for i = 1:length(a)
            if k(a(i)) == 0     % 若顶点 a 未标号
                k(a(i)) = j;
                j = j + 1;      % 更新顶点标号
                W(v,a(i)) = l;  % 将边标记为用过，并对其标号
                l = l + 1;      % 更新边标号
                f(a(i)) = v;    % 更新父亲数组标号
                v = a(i);       % 对父亲标号进行更新
                break;
            elseif k(a(i)) ~= 0     % 若顶点 a 已标号
                W(v,a(i)) = l;      % 将边标记为用过，并对其标号
                l = l + 1;      % 更新边标号
            end
        end
    end
    b = sum(sum(W));    % 更新未标号的总边数
    c = sum(k == 0);    % 更新未标号的顶点数
    if c == 0 & v == 1  % 若顶点均已标号，结束循环
        d = 0;
    end
end
W;