利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：
（1）确定函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x) 的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 和二阶导数
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) ；
（2）求出一阶导数
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 和二阶导数
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 在函数定义域内的全部零点，并求出函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的间断点及
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 和
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；
（3）确定这些部分区间内
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 和
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；
（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
（5）算出
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 和
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘的更准确些，有时还需补充一些点，然后结合第（3）、（4）步中得到的结果，连接这些点画出函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x) 的图形。
例 描绘函数
y
=
1
+
36
x
(
x
+
3
)
2
y = 1 + \cfrac{36x}{(x + 3)^2}
y=1+(x+3)236x 的图形。
解：（1）所给函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x) 的定义域为
(
−
∞
,
−
3
)
∪
(
−
3
,
∞
)
(- \infty, -3) \cup (-3, \infty)
(−∞,−3)∪(−3,∞) .
f
′
(
x
)
=
36
(
3
−
x
)
(
x
+
3
)
3
,
f
′
′
(
x
)
=
72
(
x
−
6
)
(
x
+
3
)
4
.
f^{'}(x) = \cfrac{36(3 - x)}{(x + 3)^3}, \quad f^{''}(x) = \cfrac{72(x - 6)}{(x + 3)^4} .
f′(x)=(x+3)336(3−x),f′′(x)=(x+3)472(x−6).
（2）
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 的零点为
x
=
3
x = 3
x=3 ;
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 的零点为
x
=
6
x = 6
x=6 ；
x
=
−
3
x = -3
x=−3 是函数的间断点。点
x
=
−
3
x = -3
x=−3 ，
x
=
3
x = 3
x=3 ，
x
=
6
x = 6
x=6 把定义域划分为四个部分区间：
(
−
∞
,
−
3
)
,
(
−
3
,
3
]
,
[
3
,
6
]
,
[
6
,
+
∞
)
.
(- \infty, -3), \quad (-3, 3], \quad [3, 6], \quad [6, +\infty) .
(−∞,−3),(−3,3],[3,6],[6,+∞).
（3）在各部分区间内
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 及
f
′
′
(
x
)
f^{''}(x)
f′′(x) 的符号，相应曲线弧的升降、凹凸和拐点等如下表：
（4）由于
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
1
\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = 1
x→+∞limf(x)=1 ，
lim
x
→
−
3
f
(
x
)
=
−
∞
\lim \limits_{x \to -3} f(x) = - \infty
x→−3limf(x)=−∞ ，所以图形有一条水平渐近线
y
=
1
y = 1
y=1 和一条铅直渐近线
x
=
−
3
x = -3
x=−3 .
（5）计算出
x
=
3
x = 3
x=3 ，
x
=
6
x = 6
x=6 处的函数值：
f
(
3
)
=
4
,
f
(
6
)
=
11
3
,
f(3) = 4, \quad f(6) = \cfrac{11}{3} ,
f(3)=4,f(6)=311,
从而得到图形上的两个点
M
1
(
3
,
4
)
,
M
2
(
6
,
11
3
)
.
M_1 (3, 4), \quad M_2 \left(6, \cfrac{11}{3} \right).
M1(3,4),M2(6,311).
又由于
f
(
0
)
=
1
,
f
(
−
1
)
=
−
8
,
f
(
−
9
)
=
−
8
,
f
(
−
15
)
=
−
11
4
,
f(0) = 1, f(-1) = -8, f(-9) = -8, f(-15) = - \cfrac{11}{4},
f(0)=1,f(−1)=−8,f(−9)=−8,f(−15)=−411,
得图形上的四个点
M
3
(
0
,
1
)
,
M
4
(
−
1
,
−
8
)
,
M
5
(
−
9
,
−
8
)
,
M
6
(
−
15
,
−
11
4
)
.
M_3(0, 1), M_4(-1, -8), M_5(-9, -8), M_6 \left(-15, - \cfrac{11}{4} \right) .
M3(0,1),M4(−1,−8),M5(−9,−8),M6(−15,−411).
结合（3）、（4）中得到的结果，画出函数
y
=
1
+
36
x
(
x
+
3
)
2
y = 1 + \cfrac{36x}{(x + 3)^2}
y=1+(x+3)236x 的图形如下图
原文链接：高等数学 3.6 函数图像的描绘
