01背包问题简介
01背包问题是一种经典的动态规划问题。问题描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，如何选择物品装入背包，使得背包中的物品总价值最大。每种物品只能选择装入或不装入背包一次（即0或1次），这就是“01”的含义。
问题参数
- 物品数量 (
n)：背包中可供选择的物品总数。 - 物品重量 (
weights[i])：第i个物品的重量。 - 物品价值 (
values[i])：第i个物品的价值。 - 背包容量 (
W)：背包能够承载的最大重量。
目标
- 最大化背包中物品的总价值，同时确保所有物品的总重量不超过背包的容量。
动态规划解法
对于这个问题，我们可以使用动态规划（DP）的方法来解决。我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，当背包容量为j时，能够装入背包的最大价值。状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中，w[i]是第i个物品的重量，v[i]是第i个物品的价值。如果第i个物品的重量大于背包的剩余容量j，那么该物品不能装入背包，此时dp[i][j]就等于dp[i-1][j]（即不装入第i个物品时的最大价值）。否则，我们可以选择装入第i个物品或者不装入，取这两种情况下的较大值。
int knapsack01(int W, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));
//dp[i][j]：前i个的物品，所装的物品体积不超过j时，能够装下的最大价值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j - vw[i - 1][0] >= 0) {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - vw[i - 1][0]] + vw[i - 1][1], dp[i][j]);
}
}
}
return dp[n][V];
} 然而，在实际应用中，我们可以将二维数组优化为一维数组，以节省空间。
我们定义一个数组dp，其中dp[j]表示在容量为j的背包中能够装入的最大价值。
状态转移方程
对于每个物品i和每个容量j，我们有以下选择：
- 不装入第
i个物品：此时背包的价值就是前i-1个物品在容量为j的背包中的最大价值，即dp[j] = dp[j]（实际上这一步在循环中通常不会显式执行，因为dp[j]在更新前已经保存了前一个状态的值）。 - 装入第
i个物品：如果第i个物品的重量小于或等于当前考虑的容量j，我们可以选择将其装入背包，此时背包的价值就是前i-1个物品在容量为j-weights[i]的背包中的最大价值加上第i个物品的价值，即dp[j] = dp[j-weights[i]] + values[i]。
我们需要在两种选择中取较大值来更新dp[j]。
初始化
dp[0]应该初始化为0，表示容量为0的背包无法装入任何物品，因此价值为0。- 其余
dp[j]（j > 0）可以初始化为一个非常小的数（如负无穷），但在实际编程中，由于我们总是从较小的容量向较大的容量更新dp数组，且每次更新都是取较大值，因此通常不需要显式初始化（除了dp[0]）。
遍历顺序
- 物品遍历：通常从第一个物品遍历到最后一个物品。
- 容量遍历：对于每个物品，我们需要从背包的最大容量
W向下遍历到该物品的重量（包括）。这是为了确保在计算dp[j]时，dp[j-weights[i]]已经包含了不考虑当前物品时的最优解。
int knapsack01(int W, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {
vector<int> dp(W + 1, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = W; j >= weights[i]; --j) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
}
}
return dp[W];
} 关于01背包问题，还有另一个问题：若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？
当背包需要恰好装满，并且我们要求在这个条件下至多能装多大价值的物品时，我们可以使用与01背包问题相同的动态规划解法，但在输出结果时需要注意一个关键点：我们需要检查在背包容量W时是否达到了一个非零的价值，因为这表明我们可以恰好装满背包。
在01背包问题的标准解法中，我们使用一个一维数组dp，其中dp[j]表示容量为j的背包所能装载的最大价值。对于每个物品，我们遍历所有可能的背包容量（从大到小），并更新dp数组以考虑是否将该物品加入背包。
当背包需要恰好装满时，我们需要特别关注dp[W]的值。如果dp[W]是非零的，那么这意味着存在一个选择方案，可以使得背包恰好装满，并且其价值等于dp[W]。如果dp[W]仍然是初始值（在大多数情况下是0，但也可能取决于你的初始化方式），那么这表明不存在一个方案可以恰好装满背包。
实现步骤
-
初始化：将
dp[0]设置为0（空背包的价值为0），其他dp[j]（对于j > 0）可以设置为一个非常小的数（尽管在01背包问题中，由于我们总是取最大值，所以它们通常不会被访问到，除非你试图在背包未装满时得到部分解）。然而，在这个特定问题中，你只需要关心dp[W]，所以除了dp[0]之外的其他元素的具体值并不重要。 -
动态规划过程：对于每个物品，从背包容量
W开始向下遍历到该物品的重量。对于每个容量j，检查是否应该将该物品加入背包（即，如果j >= weights[i]，则比较dp[j]和dp[j-weights[i]] + values[i]）。 -
结果检查：在动态规划过程完成后，检查
dp[W]的值。如果dp[W]是非零的，那么它就是在背包恰好装满的情况下可以装载的最大价值。如果dp[W]是零，那么不存在一个方案可以恰好装满背包。
int knapsack01ExactFull(int W, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {
vector<int> dp(W + 1, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = W; j >= weights[i]; --j) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
}
}
// 如果dp[W]非零，表示可以恰好装满背包
if (dp[W] > 0) {
return dp[W];
} else {
// 如果需要，可以在这里处理无法恰好装满背包的情况
return -1; // 或者其他适当的错误代码/值
}
}
