Convergence proof of the velocity field for a stokes flow immersed boundary method

https://doi.org/10.1002/cpa.20233

研究对象的选取

他这里为什么能够选取一个周期性边界的流场啊？为什么不是狄利克雷边界或者诺伊曼边界？

方形流场的边界值

为什么要定义方形流场的边界值为 -pi 到 pi 而不是别的？

浸没边界上的坐标系的定义方式

这个浸没边界上的坐标系的定义方式，这个记号，之前我也没见过

周期性边界

他定义周期性边界或许是为了在这个公式中能够得到边界上的积分为 0？

还是说我想错了，并不是先希望它积分为 0 再定的周期性边界条件，而是先有定义周期性边界条件的惯例，然后再自然地得出这些量的积分为 0？

然后就是这个 delta 函数的利用很灵性

就是，它本身是一个域内的 delta，那么就可以用对这个域的积分来消去它

就像是解引用一样，获得了那个 delta 修饰的，限定了范围的那个地方上的值

但是我不知道为什么它想得到这个式子

或许他在写 NS 方程的时候，在写 f-g 的时候，就是故意要写一个常数 g，为了之后可以说明 f 中不包含常数项？

或者说这是确保自己的公式中的某个物理量不含常数项，所必要的手段？就是直接把这个物理量 u 拆成 u* + u0 认为 u0 是常数，然后经过公式推导得到 u0 的解析式或者怎么滴

因为 u0 是常数，所以不用害怕推导，性质良好，都可以从积分中提出来，所以肯定方便推导？

速度约束

凭什么给速度添加这个约束啊，我搞不懂，你怎么知道自己可以这样设置约束呢？万一这个约束并不物理呢？

离散格式

为什么 $Nh$ 和 $M\Delta \theta$ 会都是 $2\pi$ 啊，我不理解，这是直接设的随便一个值，还是说他会有物理意义？

我感觉是有物理意义，但是我理解不了，为什么是 $2\pi$ 比如如果你说是周长的话，那么正方形的周长不应该是 $4\pi$ 吗

然后浸没边界的坐标为什么也是 $2\pi$ 跟方形边界类似？为啥啊

后面的格林函数法似乎是泛函分析相关的文章

Accuracy analysis of immersed boundary method using method of manufactured solutions

https://doi.org/10.1007/s10483-010-1353-x

Method of Manufactured Solutions 制造解法

这个我还是第一次听说

原来做解析解如此简单，只需要自己随便写一个解析解然后凑源项就好了

把源项设置好了，我们就可以认为带了这个源项的 NS 的解就是你用来推这个源项的解析解

就，暂时认为 NS 方程的解是具有唯一性的

代入压强梯度到 NS

挺神奇的……代入一个阶跃函数之后，居然可以直接转化成一个对 delta 修饰之后的项求积分

我知道这应该是等价的，就是，从物理上，都是对某个区域

但是就是很神奇

这个神奇的另外一个侧面就是，明明是阶跃的压强，但是代入 NS 之后就直接转换为了对 delta 修饰的 F 的求积分

就，这两个物理量之间是怎么转化的他也不说

that is all

好吧，这个文章不咋滴，2010 年的文章仅仅是把前人的方法验证一遍精度就没有了

Stability And Convergence Of Immersed Boundary Computations

https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=8c6d600532e8ac22d3d4a48bad1a8012293049b8

把速度做成一个，速度随着时间衰减，随着 x 改变相位，的 exp 乘以一个只与 y 有关的速度 u(y)

看了好久才知道单纯在讨论纤维

似乎是单纯判断纤维的稳定性

On the order of accuracy of the immersed boundary method: Higher order convergence rates for sufficiently smooth problems

https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.02.011

混合投影方法

居然可以投影到一个近似无散的场

居然可以多次投影，称之为混合投影

不用算平方根的 delta 函数

不用算平方根的 delta 函数可能更快，好合理

时滞的压力梯度

近似的压力投影

他用混合投影是因为可以消除压力振荡……

emmmm 我没做过弹性体，所以不知道这种缺点，所以攻击都不知道要攻击，坏了……

评估精度的用例

我不知道我要不要像他们那样做一个薄壳……

或者说其实我这个圆柱或者圆球也就是薄壳而已

我也不知道我要不要做弹性的 IB 固体来验证，应该不用吧

etc

人家 Charles S. Peskin 在 JCP 提出新格式，也没有从理论上证明收敛精度，就是做了数值实验证明了收敛精度而已

好吧，这些都是空间精度的，我想看时间精度的

On the Immersed Boundary Method with Time-Filter-SAV for Solving Fluid–Structure Interaction Problem

https://doi.org/10.1007/s10915-024-02591-5

SAV

在对流项前面乘一个 1

转成 q/q 的形式，然后算 dq/dt

然后这个 dq/dt 就可以离散化

之后的证明部分完全看不懂……

ANALYSIS OF THE PARAREAL TIME-PARALLEL TIME-INTEGRATION METHOD

https://doi.org/10.1137/05064607X

感觉这其中提到的

multiple shooting method

multigrid-in-time method

parabolic multigrid method

space-time multigrid

time-parallel multigrid

multigrid waveform relaxation methods

都是数值分析的方法啊……不知道怎么直接应用到 NS