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动态规划Part13

题目

题目一：647. 回文子串

647. 回文子串

解题思路：

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

在处理子序列问题时，定义dp数组通常需要根据题目要求来确定其含义，但在某些特殊情况下，如回文串问题，直接定义dp数组可能难以找到有效的递归关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：

为了判断字符串是否为回文，我们可以定义一个二维dp数组，其中dp[i][j]表示从第i个字符到第j个字符的子串是否为回文串。通过递归检查子串是否回文，可以构建出整个字符串的回文性质。

2. 确定递推公式

在确定递推公式时，我们分析以下情况：

判断子串[i, j]是否回文，当s[i]与s[j]相等时，依赖于子区间[i+1, j-1]是否回文。

1. s[i]与s[j]不相等：直接设置dp[i][j]为false。
2. s[i]与s[j]相等：
   • 情况一：i与j相同，字符相同，直接设置dp[i][j]为true。
   • 情况二：i与j相差1，字符相同，直接设置dp[i][j]为true。
   • 情况三：i与j相差大于1，此时需要检查子区间[i+1, j-1]是否回文，即dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result变量用于统计回文子串的总数，而当s[i]与s[j]不相等时，其对应的dp[i][j]在初始化时已被设置为false。

3. dp数组如何初始化

初始化时，dp[i][j]应设为false，因为不能默认任何子串都是回文。

4. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

举例，输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

题目二： 516.最长回文子序列

516. 最长回文子序列

解题思路：

回文子串和回文子序列是两种不同的概念。

1. 回文子串：指的是字符串中的连续子串，它正读和反读是相同的。例如，“abba” 中的 “abba” 和 “bab” 都是回文子串。
2. 回文子序列：指的是字符串中的字符，不一定连续，但按一定顺序排列后可以形成回文。例如，“babad” 中的 “bab” 或 “aba” 可以是回文子序列，因为它们可以由原字符串中的字符组成，虽然在原字符串中它们不是连续的。

对于回文子串的问题，常见的动态规划方法是使用一个二维数组 dp[i][j] 来表示字符串从索引 i 到 j 的子串是否是回文。如果 s[i] 等于 s[j] 并且 dp[i+1][j-1] 也是回文，则 dp[i][j] 为真。

而对于回文子序列的问题，通常需要使用不同的动态规划方法，因为子序列不需要连续。一个常见的方法是使用一个一维数组 dp[i] 来表示字符串到索引 i 为止的子序列中，每个字符出现的次数，然后根据这些出现次数来判断是否可以形成回文。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

1. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3. dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

1. 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n^2)

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动态规划总结

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：定义dp数组，明确其每个元素代表的含义。
2. 确定递推公式：找出状态转移方程，即dp数组元素之间的关系。
3. dp数组如何初始化：设定dp数组的初始值，对于边界情况特别重要。
4. 确定遍历顺序：决定填充dp数组的顺序，通常与递推公式相关。
5. 举例推导dp数组：通过具体例子来手动推导dp数组，验证算法的正确性。

基础概念

• 重叠子问题：问题的解决方案可以分解为更小的子问题，而这些子问题会重复出现。
• 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。

常见问题类型

1. 斐波那契数列：经典的递归问题，用于引入动态规划。
2. 背包问题：包括01背包、完全背包和多重背包等，涉及物品的选择和容量限制。
3. 打家劫舍系列：涉及相邻房屋不能同时偷的问题，需要考虑状态转移。
4. 股票系列：涉及买卖股票的最佳时机，考虑价格波动和交易限制。
5. 子序列系列：包括最长递增子序列、最长公共子序列等，涉及序列的子集和排列。

也是过了一遍动态规划的题目，完结撒花