最优化理论与自动驾驶（十）：纯跟踪算法原理、公式及代码演示

纯跟踪算法（Pure Pursuit Algorithm）是一种用于路径跟踪的几何控制算法，广泛应用于自动驾驶、机器人导航等领域。其基本思想是通过选择预定路径上的目标点（预瞄点），并控制转向角，使车辆不断逼近并跟随该目标点，从而达到路径跟踪的效果。

1. 纯跟踪算法的基本原理

在纯跟踪算法中，控制车辆的转向角是通过“追逐”路径上的一个预瞄点来实现的。该预瞄点通常位于车辆前方一定距离处。算法将车辆看作一个简单的自行车模型，并通过几何方法计算车辆需要的转向角，使得车辆沿着路径前进。

1.1 自行车模型

纯跟踪算法常采用自行车模型来简化车辆的运动学行为。该模型假设车辆的后轮作为参考点（简化车辆为一条直线），并且前轮负责控制转向。模型中车辆的运动主要由以下几个变量决定：

$L$ ：车辆的轴距（前后轮之间的距离）
$v$ ：车辆的速度
$\delta$ ：车辆的转向角
$(x_v, y_v)$ ：车辆当前的位置
$\theta_v$ ：车辆当前的朝向角，即车头的方向

1.2 预瞄点

预瞄点是预定义路径上的一个点，通常位于车辆前方一段距离处，距离为 $L_d$ ，称为预瞄距离（Lookahead Distance）。预瞄距离 $L_d$ 是算法的一个重要参数，选择合适的预瞄距离对于跟踪精度和系统稳定性至关重要。

2. 纯跟踪算法的核心几何推导

2.1 预瞄距离计算

假设车辆的当前位置为 $(x_v, y_v)$ ，朝向角为 $\theta_v$ ，预瞄点的坐标为 $(x_g, y_g)$ ，则预瞄点与车辆之间的欧几里得距离（预瞄距离）为：

$L_d = \sqrt{(x_g - x_v)^2 + (y_g - y_v)^2}$

预瞄距离 $L_d$ 可以是一个固定值，也可以随着车辆速度变化动态调整，通常速度越高，预瞄距离越大。

2.2 目标角度 $\alpha$ 的计算

偏航角 $\alpha$ 是车辆当前朝向与车辆到目标点之间连线的夹角。它定义为：

$\alpha = \arctan\left( \frac{y_g - y_v}{x_g - x_v} \right) - \theta_v$

这个角度反映了车辆当前的行驶方向与目标点方向的偏差。它是生成转向指令的基础。

2.3 轨迹曲率与转向角的关系

根据几何关系，车辆到预瞄点的距离为 $L_d$ ，目标偏航角为 $\alpha$ ，通过几何推导可以得到转向角 $\delta$ 与这些量的关系。具体地，假设车辆的转向角能够控制其沿着圆形轨迹行驶，则车辆沿圆弧行驶的曲率 $\kappa$ 与转向角 $\delta$ 的关系为：

$Ld\kappa = \frac{2 \sin(\alpha)}{L_d}$

由于转向角 $\delta$ 与车辆曲率之间的关系为：

$\delta = \arctan(L \kappa)$

代入上式，可以得到转向角 $\delta$ 的最终表达式：

$\delta = \arctan\left(\frac{2L \sin(\alpha)}{L_d}\right)$

其中， $L$ 为车辆的轴距， $\alpha$ 是车辆的偏航角， $L_d$ 是预瞄距离。

3. 纯跟踪算法的实现步骤

确定预瞄点：在车辆当前位置沿着预定路径向前寻找距离 $L_d$ 处的目标点 $(x_g, y_g)$ 。这一点是车辆在接下来的控制周期内要追逐的目标。
计算偏航角 $\alpha$ ：根据车辆当前的朝向角 $\theta_v$ 和预瞄点的位置，计算车辆与目标点之间的偏航角 $\alpha$ 。
计算转向角 $\delta$ ：根据偏航角 $\alpha$ 、车辆轴距 $L$ 和预瞄距离 $L_d$ ，使用上述公式计算车辆的转向角 $\delta$ 。
执行控制：根据计算得到的转向角 $\delta$ ，调整车辆的方向，使其逐步逼近并跟随预定路径。
更新车辆位置：在每个控制周期内，根据车辆的速度和转向角，更新车辆的当前位置和朝向角，然后重复以上步骤，直到车辆完成路径跟踪。

4. 应用场景与优化

4.1 应用场景

自动驾驶车辆：纯跟踪算法常用于自动驾驶车辆的路径跟踪，尤其是在低速和中速的情况下，例如泊车、低速路径跟踪。
物流机器人：在工业和仓储场景中，物流机器人通常使用纯跟踪算法沿着预定路径移动。
无人机导航：无人机在进行平面路径规划时也可以采用纯跟踪算法，使得无人机能够沿着预设轨迹飞行。

4.2 优化

动态调整预瞄距离：预瞄距离 $L_d$ 可以与车辆速度成比例，速度越大，预瞄距离也应该增大，以保持路径跟踪的平滑性和稳定性。
与其他控制算法结合：在更复杂的场景中，纯跟踪算法可以与更先进的控制算法结合，例如模型预测控制（MPC）和线性二次调节器（LQR），提高系统的鲁棒性和性能。

5. 优缺点

优点

简单易实现：纯跟踪算法基于简单的几何关系，计算复杂度低，适合实时应用。
响应平滑：在低速或路径平缓的情况下，纯跟踪算法能够生成平滑的转向指令，保证车辆平稳行驶。

缺点

精度有限：当车辆速度较高或路径曲率变化较大时，纯跟踪算法的跟踪精度可能下降，容易产生跟踪误差。
忽略动态特性：纯跟踪算法未考虑车辆的动态特性（如车轮打滑、惯性等），因此在某些极端情况下，可能无法准确跟踪预定路径。

6、代码示例

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import PillowWriter
import imageio

# 车辆模型
class Vehicle:
    def __init__(self, x=0.0, y=0.0, theta=0.0, speed=0.0, L=2.9):
        """
        初始化车辆模型
        x, y: 初始位置
        theta: 初始航向角
        speed: 初始速度
        L: 车辆轴距
        """
        self.x = x
        self.y = y
        self.theta = theta
        self.speed = speed
        self.L = L
        self.max_speed = 3.0  # 车辆最大速度

    def update(self, delta, acceleration, dt):
        """
        更新车辆状态
        delta: 转向角
        acceleration: 加速度
        dt: 时间步长
        """
        self.speed += acceleration * dt
        self.speed = min(self.speed, self.max_speed)  # 限制车辆速度
        self.x += self.speed * math.cos(self.theta) * dt
        self.y += self.speed * math.sin(self.theta) * dt
        self.theta += self.speed / self.L * math.tan(delta) * dt

# Pure Pursuit控制器
class PurePursuitController:
    def __init__(self, k=0.1, max_lookahead=30.0, min_lookahead=5.0, L=2.9):
        """
        初始化Pure Pursuit控制器
        k: 速度比例因子，用于计算lookahead距离
        max_lookahead: 最大lookahead距离
        min_lookahead: 最小lookahead距离
        L: 车辆轴距
        """
        self.k = k
        self.max_lookahead = max_lookahead
        self.min_lookahead = min_lookahead
        self.L = L

    def calc_lookahead_distance(self, speed):
        """
        根据速度计算lookahead距离
        speed: 当前车辆速度
        """
        lookahead_distance = self.k * speed
        return max(self.min_lookahead, min(lookahead_distance, self.max_lookahead))

    def pure_pursuit_control(self, vehicle, cx, cy):
        """
        计算Pure Pursuit控制下的转向角
        vehicle: 当前车辆状态
        cx, cy: 参考轨迹的x, y坐标
        """
        lookahead_distance = self.calc_lookahead_distance(vehicle.speed)

        # 寻找离车辆最近的轨迹点
        closest_idx = -1
        closest_dist = float("inf")
        for i in range(len(cx)):
            dist = self.calc_distance(cx[i], cy[i], vehicle.x, vehicle.y)
            if dist < closest_dist:
                closest_idx = i
                closest_dist = dist

        # 根据lookahead距离找到目标点
        target_idx = closest_idx
        for i in range(closest_idx, len(cx)):
            dist = self.calc_distance(cx[i], cy[i], vehicle.x, vehicle.y)
            if dist >= lookahead_distance:
                target_idx = i
                break

        # 计算目标点的转向角
        target_x = cx[target_idx]
        target_y = cy[target_idx]
        alpha = math.atan2(target_y - vehicle.y, target_x - vehicle.x) - vehicle.theta
        delta = math.atan2(2 * self.L * math.sin(alpha), lookahead_distance)

        return delta, target_idx

    @staticmethod
    def calc_distance(px, py, x, y):
        """计算两点间的欧氏距离"""
        return np.sqrt((px - x) ** 2 + (py - y) ** 2)

# PID速度控制器
class PIDController:
    def __init__(self, Kp, Ki, Kd, target_speed):
        """
        初始化PID控制器
        Kp, Ki, Kd: PID控制参数
        target_speed: 目标速度
        """
        self.Kp = Kp
        self.Ki = Ki
        self.Kd = Kd
        self.target_speed = target_speed
        self.integral = 0
        self.previous_error = 0

    def control(self, current_speed, dt):
        """
        计算速度控制下的加速度
        current_speed: 当前速度
        dt: 时间步长
        """
        error = self.target_speed - current_speed
        self.integral += error * dt
        derivative = (error - self.previous_error) / dt
        self.previous_error = error
        acceleration = self.Kp * error + self.Ki * self.integral + self.Kd * derivative
        return acceleration

    def update_target_speed(self, distance_to_goal, stop_threshold=3.0):
        """
        根据目标距离更新目标速度（用于平滑停止）
        distance_to_goal: 车辆距离终点的距离
        stop_threshold: 停止距离的阈值
        """
        if distance_to_goal < stop_threshold:
            self.target_speed = 0.0  # 当接近终点时，目标速度设为0

# 轨迹
class Trajectory:
    def __init__(self):
        """
        初始化参考轨迹
        """
        self.cx = np.arange(0, 50, 0.5)
        self.cy = [math.sin(ix / 5.0) * ix / 2.0 for ix in self.cx]

    def get_trajectory(self):
        """获取轨迹的x, y坐标"""
        return self.cx, self.cy

# 主函数
def main():
    vehicle = Vehicle(x=0.0, y=0.0, theta=0.0, speed=0.0, L=2.9)
    controller = PurePursuitController(k=0.1, max_lookahead=30.0, min_lookahead=1.5, L=2.9)
    trajectory = Trajectory()
    cx, cy = trajectory.get_trajectory()
    pid_controller = PIDController(Kp=1.0, Ki=0.1, Kd=0.01, target_speed=3.0)

    dt = 0.1
    x_history = []
    y_history = []

    # 创建图形
    fig, ax = plt.subplots()

    # GIF帧列表
    frames = []

    for t in range(500):
        # 计算车辆到终点的距离
        distance_to_goal = controller.calc_distance(cx[-1], cy[-1], vehicle.x, vehicle.y)
        pid_controller.update_target_speed(distance_to_goal, stop_threshold=3.0)

        # 计算车辆的转向角度并更新车辆位置
        delta, target_idx = controller.pure_pursuit_control(vehicle, cx, cy)
        acceleration = pid_controller.control(vehicle.speed, dt)
        vehicle.update(delta, acceleration, dt)

        # 保存车辆运动轨迹
        x_history.append(vehicle.x)
        y_history.append(vehicle.y)

        # 每2步更新一次图形，提升性能
        if t % 2 == 0:
            ax.cla()
            ax.plot(cx, cy, "-r", label="reference trajectory")
            ax.plot(x_history, y_history, "-b", label="vehicle trajectory")
            ax.plot(cx[target_idx], cy[target_idx], "go", label="lookahead point")
            ax.set_xlim(0, 50)
            ax.set_ylim(-20, 25)
            ax.set_title(f"Pure Pursuit with PID - Step {t}")
            ax.set_xlabel("x [m]")
            ax.set_ylabel("y [m]")
            ax.grid(True)

            # 渲染当前帧
            fig.canvas.draw()

            # 将当前帧保存到 GIF 帧列表
            image = np.frombuffer(fig.canvas.tostring_rgb(), dtype='uint8').reshape(fig.canvas.get_width_height()[::-1] + (3,))
            frames.append(image)

        # 实时显示
        plt.pause(0.01)

        # 到达终点并停止
        if distance_to_goal < 0.5:
            print("Reached the goal!")
            break

    # 保存为GIF
    gif_filename = 'pure_pursuit_simulation.gif'
    imageio.mimsave(gif_filename, frames, fps=10)
    print(f"Simulation saved as {gif_filename}")

if __name__ == '__main__':
    main()

最小预瞄距离1.5m，执行结果：