计算机的错误计算(九十五)

news2024/11/15 19:39:08

摘要   从计算机的错误计算(八十六)至(九十四),其主题均涉及对数运算。本节用错数解释(九十四)中的错误计算的原因。其余类似。

        首先,由计算机的错误计算(二十七)知,错数公式是 

j-k\approx m+m_1-m_2\,.

上式表示,函数值的错误数字个数 j 比自变量的错误数字个数 k 多约 m+m_1-m_2 位(实际误差为1,即也可能多 m+m_1-m_2-1 位)。其中 3个 m 符号依次表示导数、自变量以及函数值的扩展整数位数。

       若自变量有一点舍入误差,那么这一丁点误差会导致结果中含有 m+m_1-m_2 或 m+m_1-m_2-1 位错误数字。

       对于(九十四)中案例,有:

x=0.999999999543\,, 

 \log_2(x)\approx -0.659311633836909\textup{e}-9\,,

(\log_2(x))^\prime|_{x=0.999999999543}=\frac{1}{x\ln(2)}|_{x=0.999999999543}=1.442695... \,.

所以,m_1=0\,,  m_2=-9\,,  m=1\,.  于是,m+m_1-m_2=1+0-(-9)=10\,.  因此,在现有计算模式下,计算机的输出中必定有10位或9位错误数字。

       实际情况是9位错误数字。

       从(八十六)至(九十四),其讨论的主题均涉及对数运算(比如,(八十八)中主题是 \textup{atanh}(x)=\frac{1}{2}\ln(\frac{1+x}{1-x}))。因此,这些错误计算原因也可以通过错数来解释,并且是定量地解释。在此不再赘述。

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