第307题｜快速掌握反常积分敛散性判定的方法

第307题｜快速掌握反常积分敛散性判定的方法｜武忠祥老师每日一题

news2024/9/30 3:26:53

解题思路：先判断这个反常积分的敛散性，再讨论a的取值范围;

判断反常积分的敛散性，我们通常有三个方法：
（1）根据定义，通常在原函数比较好求的情况下，可以根据定义

（2）比较判别法，

（3）p积分，这不是p积分。

所以我们使用比较判别法来做这道题。

0是无界点，又有无穷区间，既有无界函数的积分也有无穷区间的积分，所以我们要把它拆开。

这里从1拆还是从2拆都无关紧要，只要是在这个区间内的点都行。

比较判别法与谁比较？一般是与p积分进行比较。

回顾一下p积分的知识：

对于无界函数的p积分，p<1时收敛。

对于无穷区间上的p积分，p>1时收敛。

回到这题，要想积分收敛，必须要拆出来的两个积分都收敛才行。

1.先看第一个积分：

$\int_{0}^{1} \frac{ln (x+1)dx}{x^{a}}$ ,当x趋于0时，ln（x+1）趋于x，等价代换之后是这个积分：

$\int_{0}^{1} \frac{1 dx}{x^{a-1}}$ ，这两个积分具有相同的敛散性。 $\int_{0}^{1} \frac{1 dx}{x^{a-1}}$ 是p积分，要想要它收敛，p<1,则有a-1<1,即a<2;

2.再看后面这个积分：

先说结论：x趋于无穷时， $x^{a}$ 的增长速度比ln(x+1)快。此时a>1。

再来证明这个结论：证明过程如下：

当x趋于无穷时，取一个 $\xi$ ，满足 $a-\xi >1,\frac{ln(x+1)}{x^{a}}=\frac{1}{x^{a-\xi }}\frac{ln(x+1)}{x^{\xi }}$ ,

$x^{\xi }$ 的增长速度比ln（x+1）快， $\frac{ln(x+1)}{x^{\xi }}$ 趋于0，

则有

$\frac{ln(x+1)}{x^{a}}=\frac{1}{x^{a-\xi }}\frac{ln(x+1)}{x^{\xi }}<\frac{1}{x^{a-\xi }}$ ,

而 $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{a-\xi }}$ 是收敛的，因为p=a-Σ>1。

$\frac{ln(x+1)}{x^{a}}$ 小于一个收敛的数，那它自然也收敛。

如果a<=1了, $\frac{ln(x+1)}{x^{a}}>\frac{1}{x^{a}}$ , $\frac{1}{x^{a}}$ 是发散的， $\frac{ln(x+1)}{x^{a}}$ 比它还大，更发散，所以a<=1不成立。

得出答案，a的取值范围是(1,2)。

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