凸包

凸组合，$\lambda =<{\lambda }_1,{\lambda }_1,...,{\lambda }_n{>}^T$

其中${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=1$,且${\lambda }_i\ge 0$

凸包，充要条件所有极点不被包含到任何三角形。

极点，所有最外侧的点

InTriangle

三角形测试，判断点是否在一个三角形内。

伪代码

void extremePoint(Point s[],int n){
	for(int s = 0; s < n; s++) S[s].extreme = true;
    for(int p = 0; p < n; p++)
        for(int q = p+1; q < n ; q++)
            for(int r = q+1; r < n; r++)
                for(int s = 0 ; s < n ; s++){
                    if( s == p || s == q || s== r|| !S[s].extreme) continue;
                    if(InTriangle(S[p],S[q],S[r],S[s])){
                        S[s].extreme = false;
                    }
                }
}

naïve 版本，$O(n^4)$

toLeft

判断点是否在向量的左侧或右侧

在三角形内，当且仅当点在三条边的左侧。

bool ToLeft(Point p, Point q, Point s)
    return Area2(p,q,s) > 0;

int Area2(Point p, Point q, Point s)
    return p.x * q.y - p.y * q.x
    + q.x * s.y - q.y * s.x
    + s.x * p.y - s.y * p.x;

极边

对凸包有贡献的边。

极边的判断，所有的点都在极边的左侧。

基于极边的判断算法，

Let EE = 空集
for each directed segment pq
	if points in S/{p,q} lie to the same side of pq then 
		let EE  = EE 并 {pq}

复杂度$O(n\ast (n-1)\ast (n-2))$

void markEE(Point s[] ,int n){
    for(int k = 0 ; k < n ; k++)
        S[k].extreme = False;
    for(int p = 0; p < n ; p++){
        for(int q = p + 1 ; q < n ; q++){
            checkEdge(S,n,p,q);// 判断是否在边的一侧
        }
    }
}

void checkEdge(Point s[],int n , int p, int q){
    bool LEmpty = true, REmpty = true;
    for(int k  = 0; k < n && (LEmpty || REmpty) ; k++){
        if(k != p && k != q)
            ToLeft(S[p],S[q],S[k])?
            LEmpty = false : REmpty = false;
    }
    if(LEmpty || REmpty)
        S[p].extreme = S[q].extreme = true;
}

分治算法

典型例子，插入排序