简化二次方程

轴平移

• $旧坐标系统O，新坐标系统O^{\prime }，旧坐标(x,y)，新坐标(x^{\prime },y^{\prime })$
  $$\begin{gathered} x=x^{\prime }+a \\ y=y^{\prime }+b \end{gathered}$$
• $以(11,-7)为新原点，平移坐标，试求曲线3x^2+7y^2+2x-8y-11=0在新坐标系的方程$
  $$\begin{gathered} a=11,b=-7 \\ x=x^{\prime }+11,y=y^{\prime }-7 \\ 3(x^{\prime }+11{)}^2+7(y^{\prime }-7)-2(x^{\prime }+11)-8(y^{\prime }-7)-11=0 \\ y-3(x^{\prime }+11{)}^2+2（x^{\prime }+11)+4=0 \end{gathered}$$
  
• $y=a{x}^2+bx+c$
  $$\begin{gathered} y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})+c-\frac{b^2}{4a} \\ y-\frac{4ac-b^2}{4a}=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2 \\ 坐标原点移到点-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} 新坐标系坐标x^{\prime }、y^{\prime }表示新系下的坐标，x和y表示旧坐标系的坐标。 \\ x=x^{\prime }-\frac{b}{2a}, \\ y=y^{\prime }+\frac{4ac-b^2}{4a} \\ {y}^{\prime }=a{x}^{\prime 2} \\ {x}^{\prime 2}=\frac{1}{a^2}{y}^{\prime } \\ 此为抛物线方程 \end{gathered}$$

轴平移是一种简化二次方程图形表示的有用技巧

通过平移坐标轴，我们可以将二次方程的图形移动到新的坐标原点，从而简化方程的形式。这里我们将主要讨论如何通过平移$x$轴和$y$轴来简化一元二次方程$y=a{x}^2+bx+c$和二元二次方程（如圆、椭圆等）的图形表示。

一元二次方程的轴平移

对于一元二次方程$y=a{x}^2+bx+c$，我们可以通过平移$y$轴来简化方程。具体步骤如下：

1. 找到顶点的$y$坐标：
   一元二次方程的顶点$y$坐标可以通过公式$-\frac{D}{4a}$找到，其中$D=b^2-4ac$是判别式。但更直观的方法是，我们知道二次函数的图像是一个抛物线，其顶点位于对称轴上，对称轴的$x$坐标为$-\frac{b}{2a}$。将$x=-\frac{b}{2a}$代入原方程，即可找到顶点的$y$坐标。

2. 平移$y$轴：
   将$y$轴向上或向下平移，使得新的$y$轴穿过抛物线的顶点。这样，平移后的方程形式将变为$y^{\prime }=a{x}^{\prime 2}$（其中$y^{\prime }$和$x^{\prime }$是平移后的坐标），这是一个更简单的形式。

3. 写出平移后的方程：
   平移后的方程可以通过将原方程中的$y$替换为$y^{\prime }+k$（其中$k$是平移的距离）来得到。然后，通过代入$x^{\prime }=x-h$（其中$h$是$x$轴的平移距离，如果只有$y$轴平移，则$h=0$）来进一步简化方程。但在这种情况下，我们主要关注$y$轴的平移，所以$h=0$。

   例如，如果原方程是$y=x^2+2x+1$，其顶点为$(-1,0)$。我们可以将$y$轴向下平移1个单位，使得新的方程变为$y^{\prime }=x^{\prime 2}$（在这里，我们实际上没有改变$x$的坐标，所以$x^{\prime }=x$）。在新的坐标系中，方程更简单了。

二元二次方程的轴平移

对于二元二次方程，如圆、椭圆等，轴平移的过程类似，但我们需要同时考虑$x$轴和$y$轴的平移。

1. 找到图形的中心：
   对于圆或椭圆，找到其中心（即圆心或椭圆的中心）。这通常是通过完成平方来将方程转换为标准形式来完成的。

2. 平移坐标轴：
   将坐标轴平移，使得新的坐标原点与图形的中心重合。这通常涉及将$x$替换为$x^{\prime }+h$和将$y$替换为$y^{\prime }+k$，其中$(h,k)$是平移的距离。

3. 写出平移后的方程：
   在平移后的坐标系中写出新的方程。对于圆或椭圆，平移后的方程将具有更简单的形式，通常没有线性项。

例如，对于圆$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=16$，我们可以将坐标轴平移2个单位到右和3个单位到上，使得新的方程变为$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=16$。在新的坐标系中，圆看起来更简单，因为它现在以原点为中心。

总之，轴平移是一种有用的技巧，可以帮助我们简化二次方程的图形表示。通过平移坐标轴，我们可以将复杂的方程转换为更简单、更易于理解的形式。

轴平移简化二次方程

定义

轴平移简化二次方程是一种通过平移坐标轴来简化二次方程图形表示的方法。在二维平面上，通过平移$x$轴和$y$轴，可以使二次方程的图形移动到新的坐标原点或更便于分析的位置，从而简化方程的形式。

性质

1. 不改变图形形状：轴平移不会改变二次方程图形的形状和大小，只会改变其在坐标系中的位置。
2. 简化方程形式：通过轴平移，可以将二次方程转换为更简单、更易于理解的形式，如将一般形式的二次方程转换为顶点式或标准形式。
3. 可逆性：轴平移是可逆的，即可以通过相反的平移操作将简化后的方程还原为原方程。

计算

1. 找到关键点：对于一元二次方程，需要找到其顶点的坐标；对于二元二次方程，需要找到其中心（如圆心、椭圆中心等）。
2. 确定平移距离：根据关键点的坐标，确定需要平移的距离和方向。
3. 进行平移：将坐标轴按照确定的距离和方向进行平移，使得关键点移动到新的坐标原点或更便于分析的位置。
4. 写出平移后的方程：在新的坐标系中，根据平移后的坐标写出新的方程。

例子

一元二次方程的例子

原方程：$y=x^2+4x+6$

1. 找到顶点坐标：通过完成平方，可以将方程转换为顶点式$y=(x+2{)}^2+2$，顶点坐标为$(-2,2)$。
2. 平移$x$轴和$y$轴：将$x$轴向左平移2个单位，将$y$轴向上平移2个单位（实际上，由于顶点在$y$轴上方，通常只平移$x$轴即可，但这里为了演示，同时平移了$x$轴和$y$轴）。
3. 写出平移后的方程：在新的坐标系中，方程变为$y^{\prime }=x^{\prime 2}$（其中$y^{\prime }=y-2$，$x^{\prime }=x+2$，但由于我们只关心$x$轴的平移，所以可以简化为$y=x^{\prime 2}+2$，在新坐标系中看作$y^{\prime }=x^{\prime 2}$）。

二元二次方程的例子（圆）

原方程：$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=9$

1. 找到圆心坐标：圆心坐标为$(3,4)$。
2. 平移$x$轴和$y$轴：将$x$轴向右平移3个单位，将$y$轴向上平移4个单位。
3. 写出平移后的方程：在新的坐标系中，方程变为$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=9$。

例题

将二元二次方程$x^2+y^2-6x+4y+6=0$通过轴平移简化为标准形式，并找出平移后的坐标原点对应的原坐标点。

1. 完成平方：
   原方程可以写为$(x-3{)}^2-9+(y+2{)}^2-4+6=0$，
   进一步简化为$(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=7$。

2. 确定平移距离和方向：
   圆心坐标为$(3,-2)$，因此需要将$x$轴向右平移3个单位，将$y$轴向下平移2个单位。

3. 写出平移后的方程：
   在新的坐标系中，方程变为$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=7$。

4. 找出平移后的坐标原点对应的原坐标点：
   平移后的坐标原点$(0,0)$对应的原坐标点为$(3,-2)$。

通过轴平移，我们将原方程简化为标准形式，并找出了平移后的坐标原点对应的原坐标点。这种方法在分析和解决二次方程相关问题时非常有用。

轴旋转简化二次方程

轴旋转的定义

轴旋转，在数学和物理学中，通常指的是坐标系的旋转。在二维空间中，它涉及到围绕原点旋转$x$轴和$y$轴，以改变坐标系的方向。这种旋转可以通过旋转矩阵来实现，该矩阵能够将一个点在新坐标系中的坐标转换为原坐标系中的坐标，反之亦然。

轴旋转的性质

1. 保持距离不变：轴旋转不会改变点到原点的距离，即旋转前后的点与原点的距离保持不变。
2. 保持角度关系：虽然坐标轴的方向改变了，但点之间的相对角度关系在旋转前后是保持不变的。
3. 可逆性：轴旋转是可逆的。如果一个点经过某次旋转后到达新的位置，那么可以通过相反的旋转将其还原到原始位置。
4. 线性变换：轴旋转是一种线性变换，意味着旋转后的坐标可以通过原始坐标与旋转矩阵的乘积来得到。

例题

例题1：基础旋转

将点$P(3,4)$绕原点逆时针旋转$90^{\circ }$。

解：

1. 逆时针旋转$90^{\circ }$对应的旋转矩阵是：

$$\left(\begin{array}{cc}\cos 90^{\circ }& -\sin 90^{\circ }\\ \sin 90^{\circ }& \cos 90^{\circ }\end{array}\right)$$
$$=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

2. 应用旋转矩阵到点$P(3,4)$：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=$$

例题2：椭圆旋转

考虑椭圆方程$x^2+4xy+y^2=10$。通过旋转坐标轴来消除$xy$项，并将其转换为标准形式。

解：

1. 为了消除$xy$项，我们需要找到一个旋转角度，使得在新的坐标系中，$x^{\prime }$和$y^{\prime }$的乘积项为0。这通常涉及到求解一个关于旋转角度的方程，但在这个特定情况下，我们可以通过观察或试验来找到角度。

2. 尝试旋转$45^{\circ }$（这是一个常见的特殊角度，经常用于简化方程），对应的旋转矩阵是：

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}\cos 45^{\circ }& -\sin 45^{\circ }\\ \sin 45^{\circ }& \cos 45^{\circ }\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right) \end{gathered}$$

3. 将旋转矩阵应用于原方程中的坐标$(x,y)$，并代入原方程。然后，通过代数方法化简方程，以消除$x^{\prime }{y}^{\prime }$项。

4. 经过旋转和化简，我们得到一个新的方程，它是椭圆的标准形式（在这个特定情况下，实际上会得到一个圆的标准方程，因为原方程中的椭圆是倾斜的，且长轴和短轴长度相等）。

注意：由于这个例题涉及到较复杂的代数运算和方程化简，这里只提供了旋转矩阵和一般步骤。在实际操作中，需要利用旋转后的坐标$x^{\prime }$和$y^{\prime }$来表达原方程，并通过代数方法将其化简为标准形式。

轴旋转是一个强大的工具，它可以用于简化二次方程、分析几何形状以及解决各种数学问题。通过理解轴旋转的定义和性质，并熟练掌握旋转矩阵的应用，我们可以更轻松地处理这些类型的问题。

定义

轴旋转简化二次方程是一种通过旋转坐标轴来简化二次方程图形表示的方法。在二维平面上，通过旋转$x$轴和$y$轴（实际上是旋转整个坐标系），可以使二次方程的图形更易于分析，从而简化方程的形式。这种方法特别适用于处理椭圆、双曲线等二次曲线，以及某些形式复杂的一元二次方程。

性质

1. 改变图形方向：轴旋转会改变二次方程图形的方向，但不会改变其形状和大小。
2. 简化方程形式：通过轴旋转，可以将二次方程转换为更简单、更对称的形式，如将倾斜的椭圆旋转为水平或垂直方向的标准形式。
3. 可逆性：轴旋转是可逆的，即可以通过相反的旋转操作将简化后的方程还原为原方程。
4. 角度选择：旋转的角度通常根据二次方程的具体形式来选择，以使得旋转后的方程具有最简形式。

计算

1. 确定旋转角度：根据二次方程的形式，确定需要旋转的角度。对于椭圆，这通常涉及找到其长轴和短轴的方向，并计算它们与原始坐标轴的夹角。
2. 进行旋转：将坐标轴按照确定的角度进行旋转。这通常涉及使用旋转矩阵来变换坐标。
3. 写出旋转后的方程：在新的坐标系中，根据旋转后的坐标写出新的方程。

例子

椭圆方程的例子

原方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-xy=0$

1. 确定旋转角度：这个椭圆方程不是标准形式，因为它包含$xy$项。为了消除这项，我们需要旋转坐标轴。通过计算，我们可以找到旋转角度$\theta$，使得旋转后的方程不包含$x^{\prime }{y}^{\prime }$项。在这个例子中，旋转角度为$\theta =\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\cdot (-1)}{9/4-1}\right)=\frac{1}{2}\arctan (-2)=-\frac{\pi }{6}$（注意，实际计算时，我们通常选择使得方程最简的旋转角度，这里选择了负角度，但正角度同样有效，只是方向相反）。

2. 进行旋转：使用旋转矩阵$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$来变换坐标。在这个例子中，旋转矩阵为$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$。

3. 写出旋转后的方程：将旋转后的坐标代入原方程，并化简，得到旋转后的方程为$\frac{3}{4}{x}^{\prime 2}+\frac{15}{4}{y}^{\prime 2}=0$（注意，这个方程实际上表示一个点，因为右侧为0，且系数为正，所以只有$x^{\prime }=y^{\prime }=0$是解。这通常意味着原方程表示的椭圆退化为一个点，或者我们的旋转角度选择不是最优的。在实际应用中，我们会选择使得方程表示一个非退化二次曲线的旋转角度）。然而，为了展示旋转的效果，我们可以假设原方程是一个更一般的椭圆方程，通过旋转可以得到类似$\frac{x^{\prime 2}}{a^2}+\frac{y^{\prime 2}}{b^2}=1$的标准形式。

由于这个例子中的原方程特殊，导致旋转后的方程退化为一个点，我们来看一个更一般的例子。

更一般的椭圆方程例子

原方程：$x^2+2xy+y^2=4$

1. 确定旋转角度：为了消除$xy$项，我们需要旋转坐标轴。旋转角度可以通过公式$\theta =\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2b}{a-c}\right)$计算，其中$a,b,c$是二次项系数。在这个例子中，$a=1,b=1,c=1$，所以$\theta =\frac{1}{2}\arctan (2)$。为了简化计算，我们可以选择$\theta =\frac{\pi }{4}$（即45度），因为这是一个常见的特殊角度，且可以消除$xy$项。

2. 进行旋转：使用旋转矩阵$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{4}& -\sin \frac{\pi }{4}\\ \sin \frac{\pi }{4}& \cos \frac{\pi }{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$来变换坐标。

3. 写出旋转后的方程：将旋转后的坐标代入原方程，并化简，得到旋转后的方程为$2x^{\prime 2}=4$，即$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2$（注意，这里我们实际上得到了一个圆的标准方程，因为原方程中的椭圆在旋转45度后变成了一个圆。这是由于原方程中的椭圆的长轴和短轴长度相等，且方向与坐标轴成45度角）。

例题

将二次方程$x^2+4xy+y^2=10$通过轴旋转简化为标准形式，并找出旋转后的坐标原点对应的原坐标点。

1. 确定旋转角度：为了消除$xy$项，我们需要旋转坐标轴。旋转角度可以通过公式$\theta =\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2b}{a-c}\right)$计算，其中$a,b,c$是二次项系数。在这个例子中，$a=1,b=2,c=1$，所以$\theta =\frac{1}{2}\arctan (4)$。然而，为了简化计算，我们可以注意到这是一个对称的椭圆（实际上，它是一个倾斜的圆），因此我们可以选择旋转45度（即$\theta =\frac{\pi }{4}$）来消除$xy$项。

2. 进行旋转：使用旋转矩阵$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{4}& -\sin \frac{\pi }{4}\\ \sin \frac{\pi }{4}& \cos \frac{\pi }{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$来变换坐标。

3. 写出旋转后的方程：将旋转后的坐标代入原方程，并化简，得到旋转后的方程为$3x^{\prime 2}+7y^{\prime 2}=10$（注意，这里我们并没有得到一个圆的标准方程，因为原方程中的椭圆在旋转45度后仍然是一个椭圆，只是方向变为了水平或垂直方向。为了得到真正的圆的标准方程，我们需要选择使得方程中$x^{\prime 2}$和$y^{\prime 2}$系数相等的旋转角度，但在这个例子中，我们选择45度是为了简化计算）。然而，这个方程并不是最简形式，因为我们可以进一步将其写为$\frac{x^{\prime 2}}{\frac{10}{3}}+\frac{y^{\prime 2}}{\frac{10}{7}}=1$，但这样并不会改变其本质。

4. 找出旋转后的坐标原点对应的原坐标点：旋转后的坐标原点$(0,0)$对应的原坐标点可以通过旋转矩阵的逆变换得到，即$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (-\frac{\pi }{4})& -\sin (-\frac{\pi }{4})\\ \sin (-\frac{\pi }{4})& \cos (-\frac{\pi }{4})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$。在这个特殊情况下，旋转后的坐标原点对应的原坐标点也是$(0,0)$，因为旋转中心就是原点。但在一般情况下，旋转后的坐标原点会对应原坐标系中的一个非零点。

通过轴旋转，我们可以将原方程简化为一个更易于分析的形式。在这个例子中，我们虽然没有得到一个圆的标准方程，但得到了一个方向更简单的椭圆方程。这种方法在处理复杂的二次方程时非常有用。

参考文献

1.文心一言,chatgpt
2.《高等数学讲义》