很容易计算有限多个数字 y 1 , y 2 , … , y n y_1, y_2, \dots, y_n y1,y2,…,yn 的平均值:
y ave = y 1 + y 2 + ⋯ + y n n y_{\text{ave}} = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} yave=ny1+y2+⋯+yn
但是,如果可以进行无限多次的温度读取,如何计算一天中的平均温度呢?图 1 显示了温度函数
T
(
t
)
T(t)
T(t) 的图像,其中
t
t
t 以小时为单位,
T
T
T 以摄氏度为单位,我们猜测温度的平均值为
T
ave
T_{\text{ave}}
Tave。
一般来说,让我们尝试计算函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 在区间 a ≤ x ≤ b a \leq x \leq b a≤x≤b 上的平均值。我们从将区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 分成 n n n 个等分的小区间开始,每个小区间的长度为 Δ x = ( b − a ) / n \Delta x = (b - a) / n Δx=(b−a)/n。然后我们在每个连续的小区间内选择点 x 1 ∗ , … , x n ∗ x_1^*, \dots, x_n^* x1∗,…,xn∗,并计算数值 f ( x 1 ∗ ) , … , f ( x n ∗ ) f(x_1^*), \dots, f(x_n^*) f(x1∗),…,f(xn∗) 的平均值:
f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) n \frac{f(x_1^*) + \cdots + f(x_n^*)}{n} nf(x1∗)+⋯+f(xn∗)
(例如,如果 f f f 表示温度函数且 (n = 24),这意味着我们每小时读取一次温度,然后取平均值。)由于 Δ x = ( b − a ) / n \Delta x = (b - a) / n Δx=(b−a)/n,我们可以写出 n = ( b − a ) / Δ x n = (b - a) / \Delta x n=(b−a)/Δx,于是平均值变为:
f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) b − a Δ x = 1 b − a [ f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) ] Δ x = 1 b − a [ f ( x 1 ∗ ) Δ x + ⋯ + f ( x n ∗ ) Δ x ] = 1 b − a ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x \begin{align*} \frac{f(x_1^*) + \cdots + f(x_n^*)}{\frac{b - a}{\Delta x}} &= \frac{1}{b - a} [f(x_1^*) + \cdots + f(x_n^*)] \Delta x\\ &= \frac{1}{b - a} [f(x_1^*)\Delta x + \cdots + f(x_n^*)\Delta x] \\ &= \frac{1}{b - a} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\\ \end{align*} Δxb−af(x1∗)+⋯+f(xn∗)=b−a1[f(x1∗)+⋯+f(xn∗)]Δx=b−a1[f(x1∗)Δx+⋯+f(xn∗)Δx]=b−a1i=1∑nf(xi∗)Δx
如果我们让 n n n 增大,那么我们将计算大量的密集分布的值的平均值。(例如,我们可以每分钟甚至每秒钟读取温度。)极限值为
lim n → ∞ 1 b − a ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b - a} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx n→∞limb−a1i=1∑nf(xi∗)Δx=b−a1∫abf(x)dx
这是根据定积分的定义得到的结果。
因此,我们定义函数 f f f 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的平均值为
f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f_{\text{ave}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx fave=b−a1∫abf(x)dx
例1 求函数 f ( x ) = 1 + x 2 f(x) = 1 + x^2 f(x)=1+x2 在区间 [ − 1 , 2 ] [-1, 2] [−1,2] 上的平均值。
解答 取 a = − 1 a = -1 a=−1 和 b = 2 b = 2 b=2,我们有:
f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = 1 2 − ( − 1 ) ∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = 1 3 ∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = 1 3 [ x + x 3 3 ] − 1 2 = 2 \begin{align*} f_{\text{ave}} &= \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx = \frac{1}{2 - (-1)} \int_{-1}^2 (1 + x^2) \, dx = \frac{1}{3} \int_{-1}^2 (1 + x^2) \, dx \\ &= \frac{1}{3} \left[ x + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = 2 \end{align*} fave=b−a1∫abf(x)dx=2−(−1)1∫−12(1+x2)dx=31∫−12(1+x2)dx=31[x+3x3]−12=2
如果 T ( t ) T(t) T(t) 表示时刻 t t t 的温度,我们可能会想知道是否有某个特定时间点,此时的温度等于平均温度。对于图 1 中显示的温度函数,我们看到有两个这样的时间点——一个接近中午前,另一个接近午夜之前。一般来说,是否存在某个 c c c 点,使得函数 f f f 的值恰好等于其平均值,即 f ( c ) = f ave f(c) = f_{\text{ave}} f(c)=fave?以下定理表明,对于连续函数来说,这种情况确实存在。
积分形式的均值定理 如果函数 f f f 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续,那么存在一个 c ∈ [ a , b ] c \in [a, b] c∈[a,b],使得
f ( c ) = f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(c) = f_{\text{ave}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx f(c)=fave=b−a1∫abf(x)dx
即:
∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ⋅ ( b − a ) \int_a^b f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a) ∫abf(x)dx=f(c)⋅(b−a)
积分形式的均值定理是微分均值定理和微积分基本定理的一个推论。
几何上,积分均值定理的解释是,对于正函数 f f f,存在一个 c c c 值,使得以 [ a , b ] [a, b] [a,b] 为底、 f ( c ) f(c) f(c) 为高的矩形的面积等于从 a a a 到 b b b 下方图形所覆盖的区域面积(如图 2所示)。
例2 由于 f ( x ) = 1 + x 2 f(x) = 1 + x^2 f(x)=1+x2 在区间 [ − 1 , 2 ] [-1, 2] [−1,2] 上是连续的,积分形式的均值定理表明,存在一个 c ∈ [ − 1 , 2 ] c \in [-1, 2] c∈[−1,2] 使得
∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = f ( c ) [ 2 − ( − 1 ) ] \int_{-1}^{2} (1 + x^2) \, dx = f(c) [2 - (-1)] ∫−12(1+x2)dx=f(c)[2−(−1)]
在这个特定的例子中,我们可以明确地找到 c c c。从例 1 中我们知道 f ave = 2 f_{\text{ave}} = 2 fave=2,因此 c c c 满足
f ( c ) = f ave = 2 f(c) = f_{\text{ave}} = 2 f(c)=fave=2
因此:
1 + c 2 = 2 所以 c 2 = 1 1 + c^2 = 2 \quad \text{所以} \quad c^2 = 1 1+c2=2所以c2=1
因此,在这种情况下,存在两个满足积分均值定理的 c c c 值,分别是 c = ± 1 c = \pm 1 c=±1 在区间 [ − 1 , 2 ] [-1, 2] [−1,2] 内。
例 1 和例 2 如图 3 所示。
例3 证明一辆汽车在时间区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1, t_2] [t1,t2] 上的平均速度与其在旅程中速度的平均值是相同的。
解答 如果 s ( t ) s(t) s(t) 是汽车在时间 t t t 时的位移,根据定义,汽车在该时间区间上的平均速度为:
Δ s / Δ t = s ( t 2 ) − s ( t 1 ) t 2 − t 1 \Delta s / \Delta t = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} Δs/Δt=t2−t1s(t2)−s(t1)
另一方面,速度函数在该时间区间上的平均值为:
v ave = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 s ′ ( t ) d t = 1 t 2 − t 1 [ s ( t 2 ) − s ( t 1 ) ] = v ave = s ( t 2 ) − s ( t 1 ) t 2 − t 1 = average velocity \begin{align*} v_{\text{ave}} &= \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} s'(t) \, dt\\ &= \frac{1}{t_2 - t_1} [s(t_2) - s(t_1)]\\ &=v_{\text{ave}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \text{average velocity} \end{align*} vave=t2−t11∫t1t2v(t)dt=t2−t11∫t1t2s′(t)dt=t2−t11[s(t2)−s(t1)]=vave=t2−t1s(t2)−s(t1)=average velocity
这证明了平均速度与其速度的平均值相同。