拉伸力-伸长（延伸）曲线

拉伸试验种记录的力对伸长的关系曲线。

低碳钢的拉伸力-伸长（延伸）曲线

• Fe是弹性极限：在到达弹性极限之前，发生弹性变形，一般满足胡克定律
• Fs是屈服极限：在到达屈服极限之后，发生塑性变形，一般取下屈服点（相对上屈服点更稳定）。其中，锯齿状的为不均匀屈服塑性变形，到c点后进入均匀塑性变形阶段。
• Fm（Fb）是强度极限：到达强度极限后，不均匀集中塑性变形，局部颈缩。
• Fk是断裂极限：到达后，试样断裂。

低碳钢变形过程：

• 弹性变形
• 不均匀屈服塑性变形
• 均匀塑性变形
• 不均匀集中塑性变形
• 断裂

如果拉伸力→应力，伸长长度→应变，就会得到应力-应变曲线。

公称应力公称应变

$$\begin{gathered} {\sigma }_0=\frac{F}{S_0}(S_0为原始截面积) \\ {ϵ}_0=\frac{\Delta L}{L_0}(l_0为原始标距长度) \end{gathered}$$

因为用的都是原始的截面积和原始的标距长度，故称为公称应力和公称应变

真应力真应变

$$\begin{gathered} {\sigma }_{true}=li{m}_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta A} \\ {ϵ}_{true}=\frac{L_1-L_0}{L_0}+\frac{L_2-L_1}{L_1}+...={\int }_{L_0}^L\frac{dL}{L}=lnL-ln{L}_0=ln\frac{L}{L_0} \end{gathered}$$

关于真应力和真应变的求解，需要用到高数的相关知识。
假设在瞬时的条件下，试样受载荷变化量为 ΔF ，变化的截面积为 ΔA ，而且ΔA→0，那么瞬时的 ${\sigma }_{true}$ 就是瞬时的应力变化量/瞬时的应变变化量， 瞬时横面积${\sigma }_{true}=\frac{F}{A_{瞬时横截面积}}=li{m}_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta A}$。

假设试样原长为ε，在力的作用下伸长了dε，那么根据应变的定义，瞬时的应变为dε/ε，总的应变为瞬时应变的累计， ${ϵ}_{true}={\int }_{L_0}^L\frac{dL}{L}=lnL-ln{L}_0=ln\frac{L}{L_0}$。

公称应力和真应力、公称应变和真应变的关系

因为体积不变 $A_0{L}_0=AL$，又因为$L=L_0+\Delta L$， ，所以：
$${\sigma }_{true}=\frac{F}{A}=\frac{FL}{A_0{L}_0}=\frac{F(L_0+\Delta L)}{A_0{L}_0}={\sigma }_0(1+{\epsilon }_0)$$
$${\epsilon }_{true}=ln\frac{L}{L_0}=ln\frac{L_0+\Delta L}{L_0}=ln(1+{\epsilon }_0)$$

应力-应变曲线

公称应力-公称应变曲线

由于原始的截面积和原始的标距长度为常数，故得到的曲线长相和拉伸力-伸长（延伸）曲线没啥区别。

真应力-真应变曲线

OBA是真应力-应变曲线。B点：颈缩和非颈缩的分界点。切线斜率：应变强化速率。斜率越大，单位应变强化效果越好。过了B点后，由于颈缩导致的截面半径迅速减小，导致真应力迅速上升，切线斜率明显提高。C点：接近断裂点，真应力迅速减小。

$O{B}_1{A}_1$是公称应力-应变曲线， $B_1$是强度极限，对应B点。

参考资料：
[1]工程应变和真应变之间有什么关系？ - 知乎 (zhihu.com)
[2]应力应变曲线_材料力学性能02_TeeSim天深科技
[3]第15讲 真实应力应变曲线 - 百度文库 (baidu.com)
[4]刘秉余,崔建忠.真应力-应变曲线的一种图解求法——缩颈过程分析[J].理化检验（物理分册）,2008,44(8):427-430