前言

这篇论文介绍了一种名为 PointCNN 的方法，旨在从点云（point cloud）数据中学习特征。传统卷积神经网络（CNN）在处理规则网格数据（如图像）时非常有效，但由于点云是无序且不规则的，直接在其上应用卷积操作会导致形状信息丢失，并对点的排列顺序敏感。

为了解决这一问题，论文提出了一种 X-Conv 操作。该方法通过学习一种 X-transformation 来重新排列点云中的点并加权输入特征。然后，将典型的卷积操作应用于转换后的特征。这种方法将传统的 CNN 扩展到点云特征学习，并命名为 PointCNN。

实验表明，PointCNN 在多个基准数据集上达到了与当前最先进方法相当甚至更好的性能。这些数据集包括 3D 形状分类（如 ModelNet40）、分割任务（如 ShapeNet Parts 和 ScanNet），以及 2D 草图分类任务（如 TU-Berlin 和 Quick Draw）。

论文的关键贡献在于提出了适用于点云的卷积操作，并展示了其在多种任务上的有效性。

PointCNN实现细节

PointCNN 是一种针对点云数据进行特征学习的卷积神经网络架构。它的设计初衷是为了克服传统卷积神经网络（CNN）在处理点云数据时遇到的挑战。点云数据是不规则且无序的，因此直接将传统的卷积操作应用在点云上会导致形状信息的丢失，并且对点的排列顺序非常敏感。

PointCNN 的核心思想是引入一种叫做 X-Conv 的操作，这种操作通过学习一个 X-transformation 变换矩阵来同时加权和排列输入点云的数据，使得卷积操作可以更有效地应用于点云。具体来说，X-transformation 将点云的点映射到一个潜在的、或许是规范化的顺序中，然后在变换后的特征上应用卷积操作。

相比于直接对点云进行卷积，PointCNN 通过 X-Conv 操作保留了点云的局部结构信息，同时对点的排列顺序具有不变性。这使得它在点云的各种任务中表现出色，例如3D形状分类、分割任务和草图分类等。

简而言之，PointCNN 是一个能够处理不规则点云数据的通用卷积网络架构，解决了点云数据中的排列问题，并在多个任务上达到了与最先进方法相当甚至更好的性能。

1. $X$-Conv 操作

$X$-Conv 是 PointCNN 的核心操作，它通过学习一个 $X$-转换矩阵，对输入点及其特征进行加权和排序，然后进行卷积操作。整个 $X$-Conv 的过程如下：

输入

• $K$: 表示点邻域中的 $K$ 个点。
• $p$: 表示当前代表点。
• $P$: 当前点 $p$ 的 $K$ 个邻域点的坐标，表示为 $P=(p_1,p_2,\dots ,p_K{)}^T$。
• $F$: 邻域点的特征矩阵，表示为 $F=(f_1,f_2,\dots ,f_K{)}^T$，其中 $f_i\in {\mathbb{R}}^{C_1}$。

输出

• $F_p$: 聚合到代表点 $p$ 的输出特征。

步骤

1. 局部坐标系变换：首先将邻域点的坐标转换为相对于代表点 $p$ 的局部坐标系，即 $P^{\prime }\leftarrow P-p.$
2. 升维操作：通过多层感知机（MLP），将每个邻域点的坐标升维到 $C_{\delta }$ 维空间，得到 $F_{\delta }$，即 $F_{\delta }\leftarrow {\text{MLP}}_{\delta }(P^{\prime }).$
3. 特征拼接：将升维后的坐标特征 $F_{\delta }$ 与原始特征 $F$ 进行拼接，形成新的特征矩阵 $F^{\ast }$，其形状为 $K\times (C_{\delta }+C_1)$： $F^{\ast }\leftarrow [F_{\delta },F].$
4. $X$-转换矩阵的学习：通过一个 MLP 网络，从局部坐标 $P^{\prime }$ 中学习到一个 $K\times K$ 的 $X$-转换矩阵： $X\leftarrow \text{MLP}(P^{\prime }).$
5. 加权和排序：对拼接后的特征矩阵 $F^{\ast }$ 进行加权和排序，得到 $F_X$： $F_X\leftarrow X\times F^{\ast }.$
6. 卷积操作：最后，将加权后的特征 $F_X$ 与卷积核进行卷积操作，输出结果特征 $F_p$： $F_p\leftarrow \text{Conv}(K,F_X).$

该过程可以总结为如下公式： $F_p=X\text{-Conv}(K,p,P,F)=\text{Conv}(K,\text{MLP}(P-p)\times [{\text{MLP}}_{\delta }(P-p),F]).$

2. PointCNN 网络架构

PointCNN 使用 $X$-Conv 操作递归地应用在点云的不同层级上，实现了层级特征表示。输入到 PointCNN 的是点集 $\{(p_1,f_1),(p_2,f_2),\dots ,(p_N,f_N)\}$，其中 $p_i$ 是点的坐标，$f_i$ 是与点关联的特征。

层级卷积

类似于传统 CNN 的层级卷积，PointCNN 通过多层的 $X$-Conv 逐步减少点的数量，并增大特征维度。层级的每一层通过聚合局部点的特征，得到新的代表点及其特征。对于输入点云 $F_1=\{(p_{1,i},f_{1,i})\}$，我们可以递归应用 $X$-Conv，生成新的表示 $F_2=\{(p_{2,i},f_{2,i})\}$，其中 $|F_2|<|F_1|$ 且特征维度更高。

每一层的输出可表示为： $F_{l+1}=X\text{-Conv}(K,P_l,F_l),$ 其中 $P_l$ 是第 $l$ 层的代表点坐标，$F_l$ 是第 $l$ 层的特征矩阵，$K$ 是邻域点数。

分类与分割任务

• 分类网络：PointCNN 将通过若干 $X$-Conv 层逐步将输入点聚合为较少的代表点，并最终通过全连接层实现分类。在分类网络中，最后一个 $X$-Conv 层的输出是一个全局表示，通常只保留一个代表点，并应用全连接层进行分类。

• 分割网络：在分割任务中，PointCNN 采用类似于 U-Net 的架构，$X$-Conv 不仅在卷积部分应用，也在 DeConv 部分应用，以逐步将全局信息传播到高分辨率的点云表示上。

3. 数据增强

为了提高模型的泛化能力，PointCNN 使用了随机采样和输入点集顺序打乱的数据增强策略。在训练时，PointCNN 随机采样 $N\sim \mathcal{N}(1024,128^2)$ 个点作为输入，并在每个批次中对输入点的顺序进行打乱。这对于训练一个对点集输入顺序不敏感的模型至关重要。

4. 效率优化

在实现中，$X$-Conv 的复杂度为 $O(K^3)$，并且使用了深度可分离卷积来进一步减少计算复杂度。整个操作过程均为可微分的，因此 PointCNN 可以使用反向传播进行训练。