机器学习之 SVD降维：图像压缩示例

news2024/12/28 20:37:52

引言

在处理大规模数据集时，数据降维是一项非常重要的任务。通过降维，我们可以减少数据的存储需求、加快计算速度，并且在某些情况下还能提高模型的性能。SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种常用的矩阵分解技术，广泛应用于数据降维、图像压缩等领域。本文将介绍如何使用SVD进行图像压缩，并通过一个简单的Python示例来展示其效果。

什么是SVD？

SVD是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积形式： A=UΣVTA=UΣVT 其中：

UU 是一个由左奇异向量组成的正交矩阵。
ΣΣ 是一个对角矩阵，对角线上是奇异值。
VTVT 是一个由右奇异向量组成的正交矩阵的转置。

在降维过程中，我们通常保留较大的奇异值对应的奇异向量，忽略较小的奇异值，从而达到降维的目的。

图像压缩示例

我们将使用一张图像作为示例，通过SVD将其压缩到较低的维度，并观察压缩前后图像的变化。

代码实现

首先，我们需要导入必要的库，并定义一个函数来执行图像压缩。

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt

def pic_compress(k, pic_array):
    """
    使用SVD对图像进行压缩。
    
    参数:
    - k: 保留的奇异值数量。
    - pic_array: 输入的图像数组。
    
    返回:
    - new_pic: 压缩后的图像数组。
    - size: 压缩后的存储大小。
    """
    global u, sigma, vt, sig, new_pic
    u, sigma, vt = np.linalg.svd(pic_array)  # 进行奇异值分解
    sig = np.eye(k) * sigma[:k]
    new_pic = np.dot(np.dot(u[:, :k], sig), vt[:k, :])  # np.dot用于矩阵的乘法运算
    size = u.shape[0] * k + sig.shape[0] * sig.shape[1] + k * vt.shape[1]
    return new_pic, size

# 加载图像
img = Image.open("lufei.jpg")  # 彩色的图片
ori_img = np.array(img)

# 压缩图像
new_img, size = pic_compress(100, ori_img)  # 压缩的维度

# 打印原始大小和压缩后的大小
print("Original size: " + str(ori_img.shape[0] * ori_img.shape[1]))
print("Compressed size: " + str(size))

# 绘制图像
fig, ax = plt.subplots(1, 2)
ax[0].imshow(ori_img, cmap='gray')
ax[0].set_title("Before Compression")
ax[1].imshow(new_img, cmap='gray')
ax[1].set_title("After Compression")
plt.show()

代码解释

导入库：导入numpy、PIL和matplotlib库。
定义压缩函数：定义了一个pic_compress函数，该函数接受一个整数k作为参数，表示要保留的奇异值数量，以及一个图像数组pic_array。
SVD分解：使用np.linalg.svd函数对图像数组进行SVD分解。
构建新的矩阵：根据保留的奇异值数量构建新的矩阵，并计算压缩后的图像数组。
计算压缩后的存储大小：根据保留的奇异值数量计算压缩后的存储大小。
加载图像：使用Image.open函数加载图像，并将其转换为数组。
压缩图像：调用pic_compress函数压缩图像，并获取压缩后的图像数组和存储大小。
显示图像：使用matplotlib绘制原始图像和压缩后的图像，并显示它们。