本文索引
- 前言
- 1. 二叉搜索树
- 1.1 概念
- 1.2 二叉搜索树操作
- 1.2.1 查找与插入
- 1.2.2 删除
- 1.2.3 二叉搜索树实现代码
- 2. 树形结构的关联式容器
- 2.1 set的介绍与使用
- 2.1.1 set的构造函数
- 2.1.2 set的迭代器
- 2.1.3 set的容量
- 2.1.4 set的修改操作
- 2.2 map的介绍与使用
- 2.2.1 map的构造函数
- 2.2.2 map的迭代器
- 2.2.3 map的容量与元素访问
- 2.2.4 map中元素的修改
- 2.3 multiset的介绍
- 2.4 multimap的介绍
前言
二叉树我们在c语言数据结构阶段已经学习过, 这里map和set的特性需要先铺垫二叉搜索树, 而二叉搜索树也是一种树形解构, 二叉搜索树的特性了解, 有助于更好的理解map和set的特性, 本文将借助二叉搜索树, 对二叉树部分进行收尾与总结.
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正文开始
1. 二叉搜索树
1.1 概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
1.2 二叉搜索树操作
首先我们需要先定义节点的结构, 并实现它的构造函数.
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
1.2.1 查找与插入
查找
对于这样一棵二叉搜索树, 我们要对其节点的值进行查找.
- 从根开始比较, 如果比跟大则往右边找, 如果比根小则往左边查找.
- 最多查找高度次, 走到空时, 还没找到则这个值不存在
编写代码:
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
插入
- 如果树为空, 则直接新增节点, 赋值给root指针.
- 如果树不为空, 则按照二叉搜索树的性质进行查找插入位置, 如果找到为空节点则插入新节点.
一般情况, 如果有相同的值, 我们是不进行插入的, 也就是二叉搜索树具有去重的性质.
编写代码:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
return true;
}
1.2.2 删除
对于删除操作, 那么我们首先就需要查找此元素在不在二叉搜索树中, 如果不存在则返回, 否则的话我们就进行该节点的删除, 要删除的节点可以分为以下三种情况
- 要删除的节点没有孩子, 比如这里的1和7, 我们直接删除即可.
- 要删除的节点有一个孩子, 一个左孩子或者一个右孩子.删除6时只有一个右孩子, 我们可以让父节点直接指向6的右孩子就可以了; 删除14, 我们也可以直接让父节点直接指向14的左孩子就可以了. 但是我们需要记录到父节点, 再判断删除的是父节点的左孩子还是右孩子.
这里其实第一种情况和第二种情况可以归为一种情况, 对于第一种情况, 父节点指向了空.
- 删除的节点有两个孩子. 比如要删除的节点为3和8,这个时候我们需要找一个节点来替代, 那么满足替代的节点要么为左子树最大或者右子树最小, 我们这里选择右子树最小的节点进行替代删除, 先交换值, 然后删除替代删除的节点. 删除8,替代节点为13, 删除3替代节点为4
如果没有找到替代节点, 也就是左子树的根节点为右子树最小节点, 这种情况我们需要另外分析
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//寻找值为key的节点
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//如果cur没有孩子或者只有一个孩子
//假设只有一个右孩子,无孩子同样适用
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
//反之假设只有一个左孩子,无孩子同样适用
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
//2个孩子的情况
//这里使用cur的右子树的最小节点作为替代节点
else
{
//这里父节点不能设为nullptr,可能右子树无左孩子
Node* RMinParent = cur;
Node* RMin = cur->_right;
while (RMin->_left)
{
RMinParent = RMin;
RMin = RMin->_left;
}
//换值替代
cur->_key = RMin->_key;
//重复一个节点或者无节点的方法
//此时RMin无左孩子
if (RMinParent->_left == RMin)
RMinParent->_left = RMin->_right;
else
//cur此时为右子树最小节点为cur->right
RMinParent->_right = RMin->_right;
delete RMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
1.2.3 二叉搜索树实现代码
对于只有key的实现
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool insert(const K& key)
{
//情况一:树为空
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//情况二:只能插入到叶子节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (key > parent->_key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K* key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//寻找值为key的节点
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//如果cur没有孩子或者只有一个孩子
//假设只有一个右孩子,无孩子同样适用
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
//反之假设只有一个左孩子,无孩子同样适用
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
//2个孩子的情况
//这里使用cur的右子树的最小节点作为替代节点
else
{
//这里父节点不能设为nullptr,可能右子树无左孩子
Node* RMinParent = cur;
Node* RMin = cur->_right;
while (RMin->_left)
{
RMinParent = RMin;
RMin = RMin->_left;
}
//换值替代
cur->_key = RMin->_key;
//重复一个节点或者无节点的方法
//此时RMin无左孩子
if (RMinParent->_left == RMin)
RMinParent->_left = RMin->_right;
else
//cur此时为右子树最小节点为cur->right
RMinParent->_right = RMin->_right;
delete RMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
//进行一层的封装,_root为私有成员
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
具有key, value的二叉搜索树实现
namespace KeyValue
{
template<class K,class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K,V>* _left;
BSTNode<K,V>* _right;
BSTNode(const K& key,const V& value)
:_key(key)
,_value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K,V> Node;
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K, V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,value);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
if (parent->_key < key)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
return true;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else parent->_right = cur->_right;
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
if (parent->left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else parent->_right = cur->_left;
delete cur;
return true;
}
else
{
//找右子树最左节点替代
Node* MinLParent = cur;
Node* Min = cur->_right;
while (Min->_left)
{
MinLParent = Min;
Min = Min->_left;
}
cur->_key = Min->_key;
if (MinLParent->_left == Min)
MinLParent->_left = Min->_right;
else
MinLParent->_right = Min->_right;
delete Min;
return true;
}
}
}
return false;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return cur;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":"<<root->_value<<endl;
_InOrder(root->_right);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
void Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}
Node* _root = nullptr;
};
}
2. 树形结构的关联式容器
关联式容器
在初阶阶段，我们已经接触过STL中的部分容器，比如：vector、list、deque、forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。
关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是<key, value>结构的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。
键值对
**用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。**比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该应该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义。
SGI-STL中关于键值对的定义：
template <class T1, class T2>
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{}
pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{}
};
根据应用场景的不桶，STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一个容器。
2.1 set的介绍与使用
T: set中存放元素的类型，实际在底层存储<value, value>的键值对。
Compare：set中元素默认按照小于来比较
Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理
- set是按照一定次序存储元素的容器
- 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。
- 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
- set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
- set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。
注意：
-
与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对<key, value>，set中只放value，但在底层实际存放的是由<value, value>构成的键值对。
-
set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。
-
set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
-
使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列
-
set中的元素默认按照小于来比较
-
set中查找某个元素，时间复杂度为： l o g 2 n log_2 n log2n
-
set中的元素不允许修改(为什么?)
-
set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。
2.1.1 set的构造函数
2.1.2 set的迭代器
2.1.3 set的容量
2.1.4 set的修改操作
使用举例:
#include<set>
int main()
{
//set<int> st;
//pair<set<int>::iterator, int> p = st.insert(1);
//cout << p.second << endl;
set<int> s;
s.insert(5);
s.insert(2);
s.insert(7);
s.insert(4);
s.insert(9);
s.insert(9);
s.insert(9);
s.insert(1);
s.insert(5);
s.insert(9);
set<int>::iterator it = s.begin();
while (it != s.end())
{
cout << *it << " ";
++it;
}
cout << endl;
s.erase(s.begin());//删除最小值
int x;
cin >> x;
int num = s.erase(x);//返回删除元素个数
if (num == 0)
{
cout << x << "不存在" << endl;
}
auto pos = s.find(x);
if (pos != s.end())
{
s.erase(pos);
}
else
{
cout << x << "不存在" << endl;
}
for (auto e : s)
{
cout << e << " ";
}
cout << endl;
auto pos1 = find(s.begin(), s.end(), x); // O(N)
auto pos2 = s.find(x); // O(logN)
cin >> x;
if (s.count(x)) // O(log(N))
{
cout << x << "在！" << endl;
}
else
{
cout << x << "不存在！" << endl;
}
return 0;
}
int main()
{
std::set<int> myset;
std::set<int>::iterator itlow, itup;
for (int i = 1; i < 10; i++) myset.insert(i * 10); // 10 20 30 40 50 60 70 80 90
itlow = myset.lower_bound(30);//返回一个小于或者等于30的值位置
itup = myset.upper_bound(60);//指向一个大于60的值位置
//[30,60)
myset.erase(itlow, itup);
for (std::set<int>::iterator it = myset.begin(); it != myset.end(); ++it)
std::cout << ' ' << *it;
std::cout << '\n';
return 0;
}
2.2 map的介绍与使用
key: 键值对中key的类型
T： 键值对中value的类型
Compare: 比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器
注意：在使用map时，需要包含头文件。
2.2.1 map的构造函数
2.2.2 map的迭代器
2.2.3 map的容量与元素访问
问题：当key不在map中时，通过operator获取对应value时会发生什么问题？
注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。
2.2.4 map中元素的修改
使用举例
#include<map>
int main()
{
map<string, string> dict;
pair<string, string> kv1("left", "左边");
dict.insert(kv1);//方式1
dict.insert(pair<string, string>("left", "左边"));//方式2匿名函数
dict.insert(make_pair("insert", "插入"));//方式3
pair<string, string> kv2 = { "string","字符串" };
//多参数的隐式类型转换使用{}
dict.insert({ "string","字符串" });//方式4
//map<string, string> dict = { {"left","左边"},{"right","右边"},{"insert","插入"} };
//列表构造
map<string, string>::iterator it = dict.begin();
while (it != dict.end())
{
cout << (*it).first << (*it).second << endl;
cout << it->first << it->second << endl;
++it;
}
for (const auto& e : dict)
{
cout << e.first << ":" << e.second << endl;
}
cout << endl;
return 0;
}
2.3 multiset的介绍
- multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。
- 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是<value,value>组成的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。
- 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
- multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。
- multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。
注意：
6. multiset中在底层中存储的是<value, value>的键值对
7. multiset的插入接口中只需要插入即可
8. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的
9. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列
10. multiset中的元素不能修改
11. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为
O
(
l
o
g
2
N
)
O(log_2 N)
O(log2N)
12. multiset的作用：可以对元素进行排序
#include <set>
void TestSet()
{
int array[] = { 2, 1, 3, 9, 6, 0, 5, 8, 4, 7 };
// 注意：multiset在底层实际存储的是<int, int>的键值对
multiset<int> s(array, array + sizeof(array)/sizeof(array[0]));
for (auto& e : s)
cout << e << " ";
cout << endl;
return 0;
}
2.4 multimap的介绍
- Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对<key, value>，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
- 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类value_type组合在一起，value_type是组合key和value的键值对:typedef pair<const Key, T> value_type;
- 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。
- multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
- multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。
注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。
multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。
注意：
- multimap中的key是可以重复的。
- multimap中的元素默认将key按照小于来比较
- multimap中没有重载operator[]操作(同学们可思考下为什么?)。
- 使用时与map包含的头文件相同：
完
