3. 函数极限与连续函数
3.2 连续函数
【例3,2,4】证明
f
(
x
)
=
a
x
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
f(x)=a^{x}(a>0,a\ne 1)
f(x)=ax(a>0,a=1)在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)上连续。
【证】
∀
x
0
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
\forall x_{0}\in(-\infty,+\infty)
∀x0∈(−∞,+∞)
lim
x
→
x
0
a
x
=
A
⇔
lim
x
→
x
0
a
x
−
x
0
=
1
⇔
lim
t
→
0
a
t
\lim\limits_{x\to x_{0}}a^{x}=A\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_{0}}a^{x-x_{0}}=1\Leftrightarrow\lim\limits_{t\to 0}a^{t}
x→x0limax=A⇔x→x0limax−x0=1⇔t→0limat
若
t
→
0
+
t\to 0^{+}
t→0+:
(1)若
a
>
1
a>1
a>1,
由于
[
1
t
]
≤
1
t
<
[
1
t
]
+
1
[\frac{1}{t}]\le \frac{1}{t}<[\frac{1}{t}]+1
[t1]≤t1<[t1]+1,所以
1
[
1
t
]
+
1
<
1
t
≤
1
[
1
t
]
\frac{1}{[\frac{1}{t}]+1}<\frac{1}{t}\le\frac{1}{[\frac{1}{t}]}
[t1]+11<t1≤[t1]1
a
t
=
1
<
a
1
1
t
≤
a
1
[
1
t
]
a^{t}=1<a^{\frac{1}{\frac{1}{t}}}\le a^{\frac{1}{[\frac{1}{t}]}}
at=1<at11≤a[t1]1
其中
[
1
t
]
[\frac{1}{t}]
[t1]相当于
n
n
n,记为
n
n
n,不等式右侧是数列极限
lim
n
→
∞
a
1
n
=
lim
n
→
∞
a
n
=
1
\lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1
n→∞liman1=n→∞limna=1,又
lim
n
→
∞
1
=
1
\lim\limits_{n\to\infty}1=1
n→∞lim1=1
由极限的夹逼性可知,当
a
>
1
a>1
a>1时,
lim
t
→
0
+
a
t
=
1
\lim\limits_{t\to 0^{+}}a^{t}=1
t→0+limat=1
(2)若
0
<
a
<
1
0<a<1
0<a<1,
1
a
>
1
\frac{1}{a}>1
a1>1
lim
t
→
0
+
a
t
=
lim
t
→
0
+
1
(
1
a
)
t
\lim\limits_{t\to 0^{+}}a^{t}=\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{1}{(\frac{1}{a})^{t}}
t→0+limat=t→0+lim(a1)t1
若
t
→
0
−
t\to 0^{-}
t→0−:
令
u
=
−
t
u=-t
u=−t,则
u
→
0
+
u\to 0^{+}
u→0+
lim
t
→
0
−
a
t
=
lim
u
→
0
+
a
−
u
=
lim
u
→
0
+
1
a
u
=
1
\lim\limits_{t\to 0^{-}}a^{t}=\lim\limits_{u\to 0^{+}}a^{-u}=\lim\limits_{u\to 0^{+}}\frac{1}{a^{u}}=1
t→0−limat=u→0+lima−u=u→0+limau1=1
3.2.6 连续函数的四则运算
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
,
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
g
(
x
0
)
\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}),\lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=g(x_{0})
x→x0limf(x)=f(x0),x→x0limg(x)=g(x0)(即
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)在
x
0
x_{0}
x0点处连续),有:
(1)
lim
x
→
x
0
(
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
)
=
α
f
(
x
0
)
+
β
g
(
x
0
)
\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha f\left(x_{0}\right)+\beta g\left(x_{0}\right)
x→x0lim(αf(x)+βg(x))=αf(x0)+βg(x0)(
α
,
β
\alpha,\beta
α,β是常数);
(2)
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
(
x
0
)
g
(
x
0
)
\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) g(x))=f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)
x→x0lim(f(x)g(x))=f(x0)g(x0);
(3)
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
0
)
g
(
x
0
)
(
g
(
x
0
)
≠
0
)
\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)} \quad\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right)
x→x0limg(x)f(x)=g(x0)f(x0)(g(x0)=0)
【注】
f
(
x
)
f(x)
f(x)与
g
(
x
)
g(x)
g(x)必须在共同的区间上。
【例】
lim
x
→
2
x
2
+
sin
x
3
x
+
2
x
=
4
+
sin
2
9
+
4
=
4
+
sin
2
13
\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}+\sin x}{3^{x}+2x}=\frac{4+\sin 2}{9+4}=\frac{4+\sin 2}{13}
x→2lim3x+2xx2+sinx=9+44+sin2=134+sin2
【例】
f
(
x
)
=
c
,
g
(
x
)
=
x
f(x)=c,g(x)=x
f(x)=c,g(x)=x,
c
x
2
,
c
x
3
,
.
.
.
,
c
x
n
cx^{2},cx^{3},...,cx^{n}
cx2,cx3,...,cxn是连续函数。
【例】多项式
P
n
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
0
P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}
Pn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a0在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)上连续
【例】有理函数
Q
n
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
b
m
x
m
+
b
m
−
1
x
m
−
1
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
Q_{n}(x)=\frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}}
Qn(x)=bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(除去使得分母为0的点)在它的定义域上连续。
【例3.2.6】
sin
x
,
cos
x
\sin x,\cos x
sinx,cosx在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)上连续,
tan
x
=
sin
x
cos
x
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
tanx=cosxsinx在
{
x
∣
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
\{x|x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\}
{x∣x=kπ+2π,k∈Z},即把分母为0的点抠掉。
cot
x
=
cos
x
sin
x
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}
cotx=sinxcosx在
{
x
∣
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
\{x|x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\}
{x∣x=kπ,k∈Z},即把分母为0的点抠掉。
3.2.7 不连续点(间断点)的类型
连续的定义
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})
x→x0limf(x)=f(x0),
(1)
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_{0}
x0处有定义;
(2)
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})
x→x0+limf(x)=f(x0);
(3)
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})
x→x0−limf(x)=f(x0).
三者缺一不可,否则,函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_{0}
x0点不连续,亦称
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_{0}
x0间断,这时
x
0
x_{0}
x0是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)不连续点,亦称间断点。
- 第一类不连续点(间断点):
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
≠
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\ne \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)
x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x)
【例】 f ( x ) = sgn x = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 f(x)=\text{sgn}x=\left\{\begin{array}{l} -1 &,x<0\\ 0 &,x=0\\ 1&,x>0 \end{array}\right. f(x)=sgnx=⎩ ⎨ ⎧−101,x<0,x=0,x>0
lim x → x 0 + f ( x ) = 1 ≠ lim x → x 0 − f ( x ) = − 1 \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=1\ne \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=-1 x→x0+limf(x)=1=x→x0−limf(x)=−1
则 f ( x ) = sgn x f(x)=\text{sgn}x f(x)=sgnx在 x = 0 x=0 x=0处不连续。
将第一类不连续点(间断点)称为跳跃间断点。 - 第二类不连续点(间断点):
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
,
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x),\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)
x→x0+limf(x),x→x0−limf(x)至少有一个不存在
【例】 f ( x ) = sin 1 x f(x)=\sin \frac{1}{x} f(x)=sinx1
lim x → 0 + f ( x ) , lim x → 0 − f ( x ) \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x),\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x) x→0+limf(x),x→0−limf(x)都不收敛
所以 x = 0 x=0 x=0是它的第二类不连续点。
【例】 f ( x ) = e 1 x f(x)=e^{\frac{1}{x}} f(x)=ex1
lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + e 1 x = + ∞ ( e + ∞ ) \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty(e^{+\infty}) x→0+limf(x)=x→0+limex1=+∞(e+∞)
lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 − e 1 x = 0 ( e − ∞ ) \lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0(e^{-\infty}) x→0−limf(x)=x→0−limex1=0(e−∞)
所以 x = 0 x=0 x=0是第二类不连续点,又叫无穷间断点。 - 第三类不连续点(陈纪修老师教材将可去间断点划分到第三类不连续点):
lim x → x 0 + f ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) { ≠ f ( x 0 ) 或 f ( x ) 在 x = x 0 处没有定义 \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\left\{\begin{array}{l} \ne f(x_{0}) \\ 或f(x)在x=x_{0}处没有定义 \end{array}\right. x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x){=f(x0)或f(x)在x=x0处没有定义
【例】 f ( x ) = x sin 1 x f(x)=x\sin \frac{1}{x} f(x)=xsinx1在 x = 0 x=0 x=0处有极限,但是它在 x = 0 x=0 x=0处无定义, lim x → 0 x sin 1 x = 0 \lim\limits_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0 x→0limxsinx1=0,它在 x = 0 x=0 x=0点不连续,重新定义新函数 f ~ ( x ) = { f ( x ) , x ≠ 0 0 , x = 0 \widetilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{l} f(x)&,x\ne 0 \\ 0&,x=0 \end{array}\right. f (x)={f(x)0,x=0,x=0,此时 f ~ ( x ) \widetilde{f}(x) f (x)在 x = 0 x=0 x=0处连续。
第三类不连续点称为可去间断点(可去不连续点)。
【例】【迪利克雷函数】
D
(
x
)
=
{
1
,
x
是有理数
0
,
x
是无理数
D(x)=\left\{\begin{array}{l} 1&,x是有理数 \\ 0&,x是无理数 \end{array}\right.
D(x)={10,x是有理数,x是无理数
(由无限个点组成,红色并非直线)
∀
x
0
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
\forall x_{0}\in(-\infty,+\infty)
∀x0∈(−∞,+∞)
lim
x
→
x
0
+
D
(
x
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}D(x)
x→x0+limD(x),取
x
n
′
x_{n}'
xn′是有理数,
x
n
>
x
0
,
x
n
→
x
0
x_{n}>x_{0},x_{n}\to x_{0}
xn>x0,xn→x0,
lim
n
→
∞
D
(
x
n
′
)
=
1
\lim\limits_{n\to\infty}D(x_{n}')=1
n→∞limD(xn′)=1,取
x
n
′
′
x_{n}''
xn′′是无理数,
x
n
′
′
>
x
0
,
x
n
′
′
→
x
0
x_{n}''>x_{0},x_{n}''\to x_{0}
xn′′>x0,xn′′→x0,
lim
n
→
∞
D
(
x
n
′
′
)
=
0
\lim\limits_{n\to\infty}D(x_{n}'')=0
n→∞limD(xn′′)=0
有两个函数子列极限不相等,根据Heine(海涅)定理,
lim
x
→
x
0
+
D
(
x
)
\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}D(x)
x→x0+limD(x)不存在