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问题 1 建模思路
问题描述
企业需要购买零配件1和零配件2，供应商声称一批零配件（零配件1或零配件2）的次品率不超过某个标称值（例如10%）。企业希望通过抽样检测来决定是否接收这批零配件，同时希望检测次数尽可能少。需要在两种情形下给出抽样检测方案：

1. 在95%的信度下，认定零配件次品率超过标称值，则拒收这批零配件；

2. 在90%的信度下，认定零配件次品率不超过标称值，则接收这批零配件。
   建模目标
   我们的目标是设计一个抽样检测方案，使得在不同的置信水平下，企业能够合理判断是否接收零配件，并使检测次数尽可能少。
   建模方法

3. 确定假设检验问题：
   ○ 我们可以将次品率的检测问题看作是一个单侧假设检验问题。
   ○ 原假设 (H_0)：次品率$(p\le p_0)$（其中 (p_0 = 10%) 为标称值）
   ○ 备择假设 (H_1)：次品率 $(p>p_0)$

4. 抽样检测方案的设计：
   ○ 假设从供应商提供的一批零配件中抽取一个样本，样本容量为 (n)。
   ○ 在样本中统计次品数 (X)，我们可以假设 (X) 服从一个二项分布：$[X\sim B(n,p)]$
   ○ 根据中心极限定理，当样本容量较大时， (X) 可以近似为正态分布：$[X\sim N(np,np(1-p))]$

5. 计算临界值：
   ○ 为了保证在95%的信度下，企业能够认定次品率超过标称值，则拒收这批零配件，我们需要找到使得 $(P(X\ge k\mid p=p_0)\le 0.05)$的最小整数 (k)。
   ○ 也就是说，我们需要找到样本中次品数的上界，使得在 (p = p_0) 的情况下，样本中次品数超过该界限的概率为0.05。公式如下：
   $[P(X\ge k)=1-P(X<k)\le 0.05]$
   ○ 利用正态分布近似，可以计算：
   $[Z=\frac{k-n{p}_0}{\sqrt{n{p}_0(1-p_0)}}]$
   其中， (Z) 服从标准正态分布 (N(0,1))。我们可以通过查找标准正态分布表来找到合适的 (k)。

6. 计算样本容量 (n)：
   ○ 样本容量 (n) 的选择可以通过两种错误概率的权衡来确定：I 类错误（拒绝正确的 (H_0)）和 II 类错误（接受错误的 (H_0)）。
   ○ 对于不同的置信水平（95% 和 90%），我们需要计算出相应的样本容量 (n) 以确保两种错误的概率在合理范围内。
   具体步骤和公式
   

7. 选择显著性水平 (\alpha) 和置信水平 (\beta)：
   $[\alpha =0.05,\beta =0.10]$

8. 确定检验统计量的临界值：
   $[Z_{\alpha }={\Phi }^{-1}(1-\alpha )]$

9. 计算最小样本量 (n)：
   $[n={\left(\frac{Z_{\alpha }\sqrt{p_0(1-p_0)}+Z_{\beta }\sqrt{p_1(1-p_1)}}{p_1-p_0}\right)}^2]$
   其中，( p_1 ) 是企业希望检测出的实际次品率（假设值）。

10. 得出检测方案：
    ○ 确定临界值 (k)，然后根据样本容量 (n) 进行检测。