0. 前言

        在了解电流环PI参数整定之前我们需要有以下几点基础知识：

        1、了解什么是传递函数、传递函数的零点和极点。

        2、了解极点对系统稳定性的影响。

        有基础的小伙伴可以跳着看。

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1. 传递函数与零点极点

1.1 传递函数

       系统传递函数G(s)的定义是：在指零初始条件下线性系统输出量的拉普拉斯变换X(s)与输入量的拉普拉斯变换U(s)之比。

        拿PI控制器来举例，输出和输入的关系如下：

        对两边进行拉普拉斯变换得到:

        系统输入量的拉普拉斯变换U(s) = E(s)，将X(s)和U(s)的公式带入到传递函数的定义中可到PI控制的传递函数：

        好的，现在我们得到了PI控制器的传递函数，这个后面会用到。

1.2 零点与极点

        零点：传递函数的分子多项式的根称为零点。

        极点：传递函数的分母多项式的根称为极点。

        对上一节PI控制器的传递函数进行分析：

        通过上式不难得出PI控制器的传递函数有一个零点：

        还有一个极点：

        好了，接下来我们需要了解一下传递函数极点对系统稳定性的影响。

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2. 传递函数的极点对系统稳定性的影响

        传递函数的极点对系统稳定性的影响至关重要。在控制系统理论中，极点的位置决定了系统的稳定性以及动态响应的特性。

2.1 极点的位置与稳定性

左半平面的极点：

• 如果传递函数的所有极点都位于复频域的左半平面（即极点的实部小于0），那么系统是稳定的。这是因为左半平面的极点会导致系统的输出随时间呈指数衰减，最终趋向于一个有限值。
• 左半平面的极点意味着系统的响应会随着时间的推移而衰减，最终达到一个稳定状态。

右半平面的极点：

• 如果传递函数的任何极点位于复频域的右半平面（即极点的实部大于0），那么系统是不稳定的。这是因为右半平面的极点会导致系统的输出随时间呈指数增长，无法达到稳定状态。
• 右半平面的极点意味着系统的响应会随着时间的增长而增大，可能导致系统失控或发散。

虚轴上的极点：
        如果传递函数的极点位于虚轴上（即极点的实部为0），系统的稳定性取决于是否存在重根极点（即二阶或多阶极点）。

• 单根极点（实部为0，虚部非0）：系统可能是临界稳定的，表现为持续振荡而不增长也不衰减。
• 重根极点（实部为0，虚部也为0）：系统可能处于临界稳定状态，表现为持续振荡，且振幅可能随时间增加。

2.2 极点对动态响应的影响

    响应速度：

• 极点离原点越远，系统的响应速度越快，这是因为极点远离原点意味着衰减更快。
• 极点离原点越近，系统的响应速度越慢，衰减也更慢。

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3. 电流环PI参数整定

        PI参数整定思路是这样的，利用零极点相消的原理，通过设计特殊的Kp及Ki的值，使得电流环的开环成为一个纯积分环节，开环传递函数可以表示为：

        那么电流环进行闭环之后，我们可以得到闭环传递函数：

        开环的纯积分环节闭环后的传递函数是一个典型的一阶惯性环节的传递函数形式，它能够平稳地响应输入变化，并且最终趋于一个稳定的值。系统的稳定性来自于它能够逐步减小输入与输出之间的误差，并且不会产生振荡或不稳定的行为。时间常数 1/K​ 决定了系统响应的速度，增益 K 影响了系统对输入的敏感度。

        具体的设计步骤下面会详细讲解。

3.1 电流环的开环传递函数

        首先，我们知道电流环的控制框图如下图所示：

        对上面的框图进行简化，可以得到：

        在dq坐标系下的永磁同步电机的模型如下：

        建立永磁同步电机的小信号模型，并忽略掉反电动势：

        对小信号模型进行分析可以得出d轴和q轴的传递函数为：

        所以，上面的框图可以进一步简化，如下：

        我们先看开环部分的框图如下：

        由第一节的结论我们可以知道dq轴的PI控制传递函数如下：

        式中Kp_d为d轴电流环PI控制器比例系数，Ki_d为d轴电流环PI控制器积分系数，Kp_q为q轴电流环PI控制器比例系数；Ki_q为q轴电流环PI控制器积分系数。

        那么整个开环系统的传递函数可以表示为：

        还记得在第三节开头讲的吗？需要通过零极点相消的方法，通过设计特殊的Kp及Ki的值，使得电流环的开环系统成为一个纯积分环节，这样在闭环后系统的传递函数就是一个典型的一阶惯性环节的传递函数形式，它能够平稳地响应输入变化，并且最终趋于一个稳定的值。

        也就是说如果dq轴PI控制器的传递函数设计成如下形式，就可以使得零极点相消：

        零极点相消后的dq轴开环控制系统都成为了一个纯积分环节，传递函数如下：

        因此，对于电流环PI参数的整定可参照如下方法来：

        式中ωB为电流环带宽，Ld、Lq分别为d、q轴电感，Rs为定子电阻。

3.2 电流环的闭环传递函数

        接下来我们对电流环的闭环传递函数进行分析，电流环闭环控制系统的框图如下：

        根据传递函数的代数性质可得：

        又因为：

        所以我们可以得出电流环的闭环传递函数如下：

        电流环的闭环传递函数有一个左半平面的极点 s = -ωB ，因为极点在左半平面那么系统是稳定的，并且电流环带宽ωB的大小影响着系统的响应。

        通过Matlab绘制出不同电流环带宽下的闭环传递函数的阶跃响应曲线如下：

        分析上面的阶跃响应曲线得出的结论和第一章里面讲的一样， 1/ωB决定了系统响应的速度，ωB越大闭环系统传递函数的极点就离原点越远，衰减更快，系统的响应也更快。

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4. 总结

        PI参数整定思路是利用零极点相消的原理，通过设计特殊的Kp及Ki的值，使得电流环的开环传递函数成为一个纯积分环节，经过闭环后，闭环系统的传递函数是一个典型的一阶惯性环节的传递函数形式，它能够平稳地响应输入变化，并且最终趋于一个稳定的值。

        PI参数的设定可参照如下公式：

        式中ωB为电流环带宽，Ld、Lq分别为d、q轴电感，Rs为定子电阻。