【数据结构】二叉树顺序存储结构堆的应用以及解决TOP-K问题

news2024/9/21 21:47:33

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文章目录

前言
1. 堆的应用
- 1.1 堆排序
- 1.2 TOP-K问题
2. 结语

前言

前面我们学习了堆这个数据结构，这种数据结构是一种顺序结构存储的完全二叉树，现在我们来看一看堆的应用。

1. 堆的应用

1.1 堆排序

版本一：基于已有数组建堆、取堆顶元素完成排序版本

// 1、需要堆的数据结构
// 2、空间复杂度 O(N)
void HeapSort(int* a, int n)
{
	HP hp;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]);
	}
	int i = 0;
	while (!HPEmpty(&hp))
	{
		a[i++] = HPTop(&hp);
		HPPop(&hp);
	}
	HPDestroy(&hp);
}

该版本有⼀个前提，必须提供有现成的数据结构堆

版本二：数组建堆，首尾交换，交换后的堆尾数据从堆中删掉，将堆顶数据向下调整选出次大的数据

// 升序，建大堆
// 降序，建小堆
// O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int n)
{
	// a数组直接建堆 O(N)
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
// O(N*logN)
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

堆排序时间复杂度计算

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分析：

第1层， $2^0$ 个结点，交换到根结点后，需要向下移动0层

第2层， $2^1$ 个结点，交换到根结点后，需要向下移动1层

第3层， $2^2$ 个结点，交换到根结点后，需要向下移动2层

第4层， $2^3$ 个结点，交换到根结点后，需要向下移动3层

…

第h层， $2^{h-1}$ 个结点，交换到根结点后，需要向下移动h-1层

通过分析发现，堆排序第二个循环中的向下调整与建堆中的向上调整算法时间复杂度计算一致，此处不再赘述。因此，堆排序的时间复杂度为 $O (n + n * l o g n)$ ，即 $O (n l o g n)$

💡 堆排序时间复杂度为： $O (n l o g n)$

1.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

（1）用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆

前k个最小的元素，则建大堆

（2）用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素

如下图所示：

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代码实现：

void CreateNDate()
{
	// 造数据
	int n = 100000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE * fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = (rand() + i) % 1000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}
	fclose(fin);
}
void topk()
{
	printf("请输⼊k：>");
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	const char* file = "data.txt";
	FILE * fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	int val = 0;
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minheap == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
	}
	// 建k个数据的小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(minheap, k, i);
	}
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
	// 读取剩余数据，⽐堆顶的值大，就替换他进堆
		if (x > minheap[0])
		{
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minheap[i]);
	}
	fclose(fout);

}