【数学分析笔记】第3章第1节 函数极限(3)

news2024/11/15 11:00:37

3. 函数极限与连续函数

3.1 函数极限

3.1.1 函数极限的性质

  • 【局部有界性】若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A xx0limf(x)=A,则 ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : m ≤ f ( x ) ≤ M \exists \delta>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta):m\le f(x)\le M δ>0,x(0<xx0<δ):mf(x)M,其中 M , m M,m M,m是两个固定的实数。
    【证】取 m < A < M m<A<M m<A<M,令 g ( x ) = m , h ( x ) = M g(x)=m,h(x)=M g(x)=m,h(x)=M lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = m , lim ⁡ x → x 0 h ( x ) = M \lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=m,\lim\limits_{x\to x_{0}}h(x)=M xx0limg(x)=m,xx0limh(x)=M,由局部保序性
    ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 < δ ) : m = g ( x ) < f ( x ) < h ( x ) = M \exists\delta>0,\forall x(0<|x-x_{0}<\delta):m=g(x)<f(x)<h(x)=M δ>0,x(0<xx0<δ):m=g(x)<f(x)<h(x)=M
    f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_{0} x0处有定义,则在 x x x满足 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x-x_{0}|<\delta xx0<δ的条件下, min ⁡ { m , f ( x 0 ) } ≤ f ( x ) ≤ max ⁡ { M , f ( x 0 ) } \min\{m,f(x_{0})\}\le f(x)\le\max\{M,f(x_{0})\} min{m,f(x0)}f(x)max{M,f(x0)}

  • 【夹逼性】【定理3.1.3】若 ∃ R > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < r ) : g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) , lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = lim ⁡ x → x 0 h ( x ) = A \exists R>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<r):g(x)\le f(x)\le h(x),\lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}}h(x)=A R>0,x(0<xx0<r):g(x)f(x)h(x),xx0limg(x)=xx0limh(x)=A,则 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A xx0limf(x)=A
    【证】 ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ g ( x ) − A ∣ < ε ⇒ g ( x ) > A − ε \forall \varepsilon>0,\exists \delta_{1},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta):|g(x)-A|<\varepsilon \Rightarrow g(x)>A-\varepsilon ε>0,δ1,x(0<xx0<δ):g(x)A<εg(x)>Aε
    ∃ δ 2 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ h ( x ) − A ∣ < ε ⇒ h ( x ) < A + ε \exists \delta_{2},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta):|h(x)-A|<\varepsilon \Rightarrow h(x)<A+\varepsilon δ2,x(0<xx0<δ):h(x)A<εh(x)<A+ε
    δ = min ⁡ { r , δ 1 , δ 2 } , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : A − ε < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) < A + ε \delta=\min\{r,\delta_{1},\delta_{2}\},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta):A-\varepsilon<g(x)\le f(x)\le h(x)<A+\varepsilon δ=min{r,δ1,δ2},x(0<xx0<δ):Aε<g(x)f(x)h(x)<A+ε
    ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon f(x)A<ε
    所以 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A xx0limf(x)=A



【例3.1.4】证明 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 x0limxsinx=1
【证】作如下四分之一单位圆:

S △ O A B < 扇形 O A B 的面积 < S △ O B C S_{\triangle O A B}<扇形OAB的面积<S_{\triangle O B C} SOAB<扇形OAB的面积<SOBC
S △ O A B = 1 2 sin ⁡ x S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2}\sin x SOAB=21sinx
扇形 O A B 的面积 = 1 2 x 扇形OAB的面积=\frac{1}{2}x 扇形OAB的面积=21x(扇形面积公式 1 2 α r 2 \frac{1}{2}\alpha r^{2} 21αr2,其中 α \alpha α为顶角, r r r为半径)
S △ O B C = 1 2 tan ⁡ x S_{\triangle O B C}=\frac{1}{2}\tan x SOBC=21tanx
1 2 sin ⁡ x < 1 2 x < 1 2 tan ⁡ x \frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x 21sinx<21x<21tanx
亦即 sin ⁡ x < x < tan ⁡ x , 0 < x < π 2 \sin x <x <\tan x,0<x<\frac{\pi}{2} sinx<x<tanx,0<x<2π
sin ⁡ x x < x x = 1 \frac{\sin x}{x}<\frac{x}{x}=1 xsinx<xx=1
x < tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x ⇒ sin ⁡ x x > cos ⁡ x x<\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow\frac{\sin x}{x}>\cos x x<tanx=cosxsinxxsinx>cosx
cos ⁡ x < sin ⁡ x x < 1 , 0 < x < π 2 \cos x<\frac{\sin x}{x}<1,0<x<\frac{\pi}{2} cosx<xsinx<1,0<x<2π
由于 sin ⁡ x x \frac{\sin x}{x} xsinx是偶函数,则不等式区间可以对称过去,即 cos ⁡ x < sin ⁡ x x < 1 , 0 < ∣ x ∣ < π 2 \cos x<\frac{\sin x}{x}<1,0<|x|<\frac{\pi}{2} cosx<xsinx<1,0<x<2π
现在证明 lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 x0limcosx=1
∀ ε > 0 , ∃ δ ∗ , ∀ x ( 0 < ∣ x − 0 ∣ = ∣ x ∣ < δ ) : ∣ cos ⁡ x − 1 ∣ = 2 sin ⁡ 2 x 2 < 2 × x 2 4 = x 2 2 \forall \varepsilon>0,\exists \delta^{*},\forall x(0<|x-0|=|x|<\delta):|\cos x -1|=2\sin^{2}\frac{x}{2}<2\times\frac{x^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{2} ε>0,δ,x(0<x0∣=x<δ):cosx1∣=2sin22x<2×4x2=2x2
δ ∗ = 2 ε \delta^{*}=\sqrt{2\varepsilon} δ=2ε
lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 x0limcosx=1
lim ⁡ x → 0 1 = 1 \lim\limits_{x\to 0}1=1 x0lim1=1
由夹逼性定理, lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 x0limxsinx=1
【注】 lim ⁡ n → ∞ n sin ⁡ π n = lim ⁡ n → ∞ π sin ⁡ π n π n = π ⇏ lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_{n\to\infty}n\sin \frac{\pi}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\pi\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\pi\not\Rightarrow\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 nlimnsinnπ=nlimπnπsinnπ=πx0limxsinx=1
x ∈ ( − π 2 , π 2 ) \ { 0 } , ∃ n ∈ N + x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \backslash\{0\},\exists n\in\mathbb{N}^{+} x(2π,2π)\{0},nN+使得 π n + 1 < ∣ x ∣ ≤ π n \frac{\pi}{n+1}<|x|\le\frac{\pi}{n} n+1π<xnπ(找到这样一个 n n n,保证 ( 0 , π 2 ] = ⋃ n = 2 ∞ ( π n + 1 , π n ] \left(0, \frac{\pi}{2}\right]=\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\pi}{n+1}, \frac{\pi}{n}\right] (0,2π]=n=2(n+1π,nπ],将 ( 0 , π 2 ] (0,\frac{\pi}{2}] (0,2π]划分成无限个小区间,左开右闭这样既不重叠也不遗漏,即 ∣ x ∣ ⊂ ( 0 , π 2 ) ⊂ ( 0 , π 2 ] |x|\subset(0,\frac{\pi}{2})\subset(0,\frac{\pi}{2}] x(0,2π)(0,2π],保证不等式两边都是无穷小量,和 x → 0 x\to 0 x0一致,即 n → ∞ n\to \infty n π n + 1 → 0 , π n → 0 \frac{\pi}{n+1}\to 0,\frac{\pi}{n}\to0 n+1π0,nπ0
x ≥ π n + 1 , x ≤ − π n + 1 , − π n < x < π n x\ge\frac{\pi}{n+1},x\le-\frac{\pi}{n+1},-\frac{\pi}{n}<x<\frac{\pi}{n} xn+1π,xn+1π,nπ<x<nπ
n n + 1 ⋅ sin ⁡ π n + 1 π n + 1 = π n + 1 π n ⋅ sin ⁡ π n + 1 π n + 1 = sin ⁡ π n + 1 π n < sin ⁡ x x < sin ⁡ π n π n + 1 = sin ⁡ π n π n ⋅ π n π n + 1 = sin ⁡ π n π n ⋅ n + 1 n \frac{n}{n+1}\cdot\frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}}=\frac{\frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}}=\frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n}}<\frac{\sin x}{x}<\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n+1}}=\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n+1}}=\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{n+1}{n} n+1nn+1πsinn+1π=nπn+1πn+1πsinn+1π=nπsinn+1π<xsinx<n+1πsinnπ=nπsinnπn+1πnπ=nπsinnπnn+1
由于 lim ⁡ n → ∞ n n + 1 ⋅ sin ⁡ π n + 1 π n + 1 = 1 = lim ⁡ n → ∞ sin ⁡ π n π n ⋅ n + 1 n = 1 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}}=1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{n+1}{n}=1 nlimn+1nn+1πsinn+1π=1=nlimnπsinnπnn+1=1
由夹逼性可知 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 x0limxsinx=1

3.1.2 函数极限的四则运算

【定理3.1.4】设 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A , lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = B \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=B xx0limf(x)=A,xx0limg(x)=B,则:

  • lim ⁡ x → x 0 ( α f ( x ) + β g ( x ) ) = α A + β B \lim\limits _{x \rightarrow x_{0}}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B xx0lim(αf(x)+βg(x))=αA+βB α , β \alpha,\beta α,β是常数)
  • lim ⁡ x → x 0 ( f ( x ) g ( x ) ) = A B \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) g(x))=A B xx0lim(f(x)g(x))=AB
  • lim ⁡ x → x 0 f ( x ) g ( x ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0) xx0limg(x)f(x)=BA(B=0)
    【证】由 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A xx0limf(x)=A,则 ∃ δ 0 > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 ) : ∣ f ( x ) ∣ ≤ X \exists\delta_{0}>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta_{0}):|f(x)|\le X δ0>0,x(0<xx0<δ0):f(x)X(有界的条件后面能用到)
    ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 1 ) : ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \forall\varepsilon>0,\exists\delta_{1},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta_{1}):|f(x)-A|<\varepsilon ε>0,δ1,x(0<xx0<δ1):f(x)A<ε
    由于 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = B \lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=B xx0limg(x)=B
    ∃ δ 2 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 2 ) : ∣ g ( x ) − B ∣ < ε \exists\delta_{2},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta_{2}):|g(x)-B|<\varepsilon δ2,x(0<xx0<δ2):g(x)B<ε
    δ = min ⁡ { δ 1 , δ 2 } , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) \delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\},\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta) δ=min{δ1,δ2},x(0<xx0<δ)
    (1) ∣ ( α f ( x ) + β g ( x ) ) − ( α A + β B ) ∣ = ∣ α ( f ( x ) − A ) + β ( g ( x ) − B ) ∣ ≤ ∣ α ( f ( x ) − A ) ∣ + ∣ β ( g ( x ) − B ) ∣ < ( ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ) ε |(\alpha f(x)+\beta g(x))-(\alpha A+\beta B)|=|\alpha(f(x)-A)+\beta(g(x)-B)|\le|\alpha(f(x)-A)|+|\beta(g(x)-B)|<(|\alpha|+|\beta|)\varepsilon (αf(x)+βg(x))(αA+βB)=α(f(x)A)+β(g(x)B)α(f(x)A)+β(g(x)B)<(α+β)ε
    所以 lim ⁡ x → x 0 ( α f ( x ) + β g ( x ) ) = α A + β B \lim\limits _{x \rightarrow x_{0}}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B xx0lim(αf(x)+βg(x))=αA+βB
    (2) ∣ f ( x ) g ( x ) − A B ∣ = ∣ f ( x ) g ( x ) − B f ( x ) + B f ( x ) − A B ∣ = ∣ f ( x ) ( g ( x ) − B ) + B ( f ( x ) − A ) ∣ ≤ ∣ f ( x ) ∣ ⋅ ∣ g ( x ) − B ∣ + ∣ B ∣ ⋅ ∣ f ( x ) − A ∣ < ( ∣ X ∣ + ∣ B ∣ ) ε |f(x)g(x)-AB|=|f(x)g(x)-Bf(x)+Bf(x)-AB|=|f(x)(g(x)-B)+B(f(x)-A)|\le|f(x)|\cdot|g(x)-B|+|B|\cdot|f(x)-A|<(|X|+|B|)\varepsilon f(x)g(x)AB=f(x)g(x)Bf(x)+Bf(x)AB=f(x)(g(x)B)+B(f(x)A)f(x)g(x)B+Bf(x)A<(X+B)ε
    (3) lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = B ≠ 0 \lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=B\ne 0 xx0limg(x)=B=0,则 ∃ δ ∗ > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ∗ \exists\delta_{*}>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta_{*} δ>0,x(0<xx0<δ,由局部保序性的推论1可知 ∣ g ( x ) ∣ > ∣ B ∣ 2 |g(x)|>\frac{|B|}{2} g(x)>2B
    δ = min ⁡ ( δ ∗ , δ 1 , δ 2 ) , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ f ( x ) g ( x ) − A B ∣ = ∣ B f ( x ) − A g ( x ) ∣ ∣ B g ( x ) ∣ = ∣ B f ( x ) − A B + A B − A g ( x ) ∣ ∣ B g ( x ) ∣ = ∣ B ( f ( x ) − A ) + A ( B − g ( x ) ) ∣ ∣ B g ( x ) ∣ ≤ ∣ B ∣ ⋅ ∣ f ( x ) − A ∣ + ∣ A ∣ ⋅ ∣ B − g ( x ) ∣ ∣ B g ( x ) ∣ = ∣ B ∣ ⋅ ∣ f ( x ) − A ∣ + ∣ A ∣ ⋅ ∣ g ( x ) − B ∣ ∣ B ∣ ⋅ ∣ g ( x ) ∣ < ∣ B ∣ ⋅ ε + ∣ A ∣ ⋅ ε ∣ B ∣ ⋅ ∣ B ∣ 2 = 2 ( ∣ B ∣ + ∣ A ∣ ) ε ∣ B ∣ 2 \delta=\min \left(\delta_{*}, \delta_{1}, \delta_{2}\right), \forall x\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right):|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}|=\frac{|Bf(x)-Ag(x)|}{|Bg(x)|}=\frac{|Bf(x)-AB+AB-Ag(x)|}{|Bg(x)|}=\frac{|B(f(x)-A)+A(B-g(x))|}{|Bg(x)|}\le\frac{|B|\cdot|f(x)-A|+|A|\cdot|B-g(x)|}{|Bg(x)|}=\frac{|B|\cdot|f(x)-A|+|A|\cdot|g(x)-B|}{|B|\cdot|g(x)|}<\frac{|B|\cdot\varepsilon+|A|\cdot\varepsilon}{|B|\cdot\frac{|B|}{2}}=\frac{2(|B|+|A|)\varepsilon}{|B|^{2}} δ=min(δ,δ1,δ2),x(0<xx0<δ):g(x)f(x)BA=Bg(x)Bf(x)Ag(x)=Bg(x)Bf(x)AB+ABAg(x)=Bg(x)B(f(x)A)+A(Bg(x))Bg(x)Bf(x)A+ABg(x)=Bg(x)Bf(x)A+Ag(x)B<B2BBε+Aε=B22(B+A)ε


    【例】求 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ α x x , α ≠ 0 \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x},\alpha\ne 0 x0limxsinαx,α=0
    【解】 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ α x x = lim ⁡ x → 0 α ( sin ⁡ α x α x ) = α \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \alpha\left(\frac{\sin \alpha x}{\alpha x}\right)=\alpha x0limxsinαx=x0limα(αxsinαx)=α



【例】求 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ α x sin ⁡ β x , α , β ≠ 0 \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x},\alpha,\beta\ne 0 x0limsinβxsinαx,α,β=0
【解】 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ α x sin ⁡ β x = lim ⁡ x → 0 sin ⁡ α x α x sin ⁡ β x β x ⋅ α β = α β \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin \alpha x}{\alpha x}}{\frac{\sin \beta x}{\beta x}}\cdot\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha}{\beta} x0limsinβxsinαx=x0limβxsinβxαxsinαxβα=βα

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01 背景 近年来&#xff0c;人工智能&#xff08;AI&#xff09;技术&#xff0c;特别是自然语言处理&#xff08;NLP&#xff09;的飞速发展深刻影响着各个行业。从智能客服到内容生成&#xff0c;从语音识别到翻译工具&#xff0c;NLP的应用已经无处不在。在这一领域中&…

[线程]JUC中常见的类 及 集合类在多线程下的线程安全问题

文章目录 一. JUC中常见的类1. Callable接口2. ReentrantLock3. Semaphore 信号量4. CountDownLatch 二. 集合类在多线程下的线程安全问题多线程下使用ArrayList多线程下使用哈希表(重要) 下面介绍的内容是面试中常考, 但是实际开发中用不到的知识 一. JUC中常见的类 JUC : ja…

『功能项目』主角身旁召唤/隐藏坐骑【20】

本章项目成果展示 我们打开上一篇19坐骑UI搭建及脚本控制显/隐的项目&#xff0c; 本章要做的事情是在坐骑UI界面点击召唤及隐藏坐骑的功能 首先在外包中拖拽一个坐骑熊的预制体 完全解压缩 重命名为MountBear 在资源文件夹Resources下的/预制体文件夹Prefabs下新建坐骑文件夹…