目录

一.堆(Heap)的基本介绍

二.堆的常用操作（以小根堆为例）

三.实现代码

3.1 堆结构定义

3.2 向下调整算法*

3.3 初始化堆*

3.4 销毁堆

3.4 向上调整算法*

 3.5 插入数据

3.6 删除数据

3.7 返回堆顶数据

四.下篇内容

1.堆排序

2.TopK问题

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一.堆(Heap)的基本介绍

        了解堆之前我们要简单了解完全二叉树：        

        在二叉树中，我们使用指针来连接每一个结点，最后构成一颗二叉树。而堆是一种使用数组来表示完全二叉树。其满足以下两条规则。

        1.堆中结点值总是大于或者小于其父结点的值。

        2.堆总是一颗完全二叉树。

由此可以推出有两种堆：大根堆和小根堆。

大根堆：根节点的值最大。

小根堆：根节点的值最小。

在堆（二叉树）中，如果一个结点的下标为i

其父亲的结点的下标为 （i-1）/ 2

其左孩子结点的下标为 (i+1)*2 -1  即  i*2 +1

其右孩子结点的下标为 (i+1)*2      即  i*2 + 2

数组的下标由0开始，读者可根据下图进行理解

二.堆的常用操作（以小根堆为例）

//初始化堆
void HeapInit(Heap* php, DataType* arr, int n);

//数组建堆主要依赖的算法(这个算法要求数组的左右子树都是小堆)
//小堆，使用向下调整算法
void Adjustdown(DataType* arr, int n, int root);


//向上调整算法
void Adjustup(DataType* arr, int n, int root);

//销毁堆
void HeapDestory(Heap* php);

//插入数据
void HeapPush(Heap* php, DataType x);

//删除数据
void HeapPop(Heap* php, DataType x);

//求堆顶（根）数据
DataType HeadTop(Heap* php);

//交换两个数据
void swap(DataType* p1, DataType* p2);

三.实现代码

3.1 堆结构定义

//以小根堆为例
typedef int DataType;
typedef struct Heap
{
	DataType* arr;    //数组
	int capacity;     //容量
	int size;         //元素大小
}Heap;

3.2 向下调整算法*

        小根堆使用该算法的前提是左右子树都为小根堆，大根堆的前提是左右子树都为大根堆

该算法是从根结点依次向下找到比自己小（或者大）的结点，然后进行交换。

最后就能将新插入的根节点放到相应的位置

调整规则：

小根堆：根节点每一次与孩子结点中较小的一个交换

大根堆：根节点每一次与孩子结点中较大的一个交换

如下图

代码如下（以小根堆为例）

//向下调整算法
void AdjustDwon(DataType* arr, int n, int root)
{
	//1.小根堆，找出左右孩子中较小的结点
	int parent = root;
	int child = root * 2 + 1;	//表示左孩子
	while (child < n)
	{
		//找到右孩子，如果右孩子比左孩子小，让child++。注意必须存在右孩子才能这么做
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			child++;
		}

		//如果该孩子比父亲小，就要交换
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(arr[child], arr[parent]);

			//向下继续调整
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			//如果孩子比父亲大，交换结束
			break;
		}
	}
}

3.3 初始化堆*

        初始化堆：将一个随机的数组（数组大小随机，元素大小也随机）转换为堆。

思路：

1.将一个数组拷贝到一个堆结构中

2.利用向下调整算法对整个数组进行调整，由于整个数组不能直接进行向下调整（左右子树不符合堆结构），所以我们使用向下调整算法堆 最后一个结点的父亲结点开始调整，然后依次对这个结点之前的结点开始调整。

3.最后得出完整的堆结构

流程图：

代码

//初始化堆
void HeapInit(Heap* hp, DataType* arr, int n)
{
	//开辟空间，大小为 DataType*n
	hp->arr = (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * n);
	assert(hp->arr != nullptr);
	memcpy(hp->arr, arr, sizeof(DataType) * n);
	hp->size = n;
	hp->capacity = n;

	//拷贝好数据后，由于数据是随机的，所以我们使用调整算法建堆
	//我们从最后一个度为2的结点开始向前依次对每一个结点都进行向下调整
	//最后一个结点下标为 n-1 则其父亲结点为（n-1-1）/2
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i > 0; i--)
	{
		Adjustdown(hp->arr, hp->size, i);
	}
}

3.4 销毁堆

//销毁堆
void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->arr);
	php->arr = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

3.4 向上调整算法*

当我们插入新数据时，这个数据会破坏堆结构（如插入到数组末尾），所以我们需要向上调整

和向下调整算法类似

思路：

        让新增节点依次和自己的父亲比较，然后交换即可

        小根堆：比父亲小，交换。直到比父亲大就结束

        大根堆：比父亲大，交换。直到比父亲小就结束

流程图：

代码

//向上调整算法，以小根堆为例
void AdjustUp(DataType* arr, int n, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(arr[child], arr[parent]);
			
			//继续向上调整
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

 3.5 插入数据

//插入数据
void HeapPush(Heap* hp, DataType x)
{
	assert(hp);
	//1.增容
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		hp->capacity *= 2;
		DataType* tmp = (DataType*)realloc(hp->arr, sizeof(DataType) * hp->capacity);
		assert(tmp != NULL);
		hp->arr = tmp;
	}
	//2.在数组的插入数据
	hp->arr[hp->size] = x;
	hp->size++;

	//对数组进行向上调整，将小的数据向上调整
	Adjustup(hp->arr, hp->size, hp->size - 1);
}

3.6 删除数据

删除堆顶的数据

我们交换第一个数据和最后一个数据，然后删除最后一个数据。再对堆顶进行向下调整

这样就能满足删除后，整个堆还是满足规则的

//删除数据（删掉堆顶的数据）
//类似于堆排序，交换第一个和最后一个数据。保证根节点的左右子树都是小根堆
void HeapPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->arr);
	swap(hp->arr[0], hp->arr[hp->size - 1]);
	hp->size--;
	Adjustdown(hp->arr, hp->size, 0);
}

3.7 返回堆顶数据

直接返回0下标处的数据即可

//求堆顶（根）数据
DataType HeadTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->size > 0);
	return hp->arr[0];
}

四.下篇内容

1.堆排序

2.TopK问题