3. 函数极限与连续函数

3.1 函数极限

设有一半径为$r$的圆，角度$x$用弧度制表示。

红色的弧长为$2xr$，蓝色的弦长为$2r\sin x$
$y=\frac{弦长}{弧长}=\frac{\sin x}{x}$，当$x\to 0$时，$y$如何变化？
取$x=0.5,0.1,0.05,0.01,...$，得到$y=0.96,0.998,0.9996,0.99998,...$
猜想：当$x\to 0,y\to 1$，写成$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$（以后证明，函数在$x=0$处有定义不管，我们只管$x\ne 0$但是$x\to 0$的情况）


【定义3.1.1】$y=f(x)$在 O ( x 0 , ρ ) \ { x 0 } O\left(x_{0}, \rho\right) \backslash\left\{x_{0}\right\} O(x0​,ρ)\{x0​}（在$x_0$为中心的$\rho$的邻域，去心邻域）上有定义，如果存在一个数$A$使得对任意给定的$\epsilon >0$，可以找到$\delta >0(\delta \le \rho )$，当$0<|x-x_0|<\delta$时成立$|f(x)-A|<\epsilon$，则称$A$是$f(x)$在$x_0$点的极限，记为$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$或$f(x)\to A(x\to x_0)$；如果不存在满足上述性质的$A$，则称$f(x)$在$x_0$这一点的极限不存在。