5.图论.题目2

news2024/12/23 22:41:14

5.图论.题目2

  • 题目
    • 8.字符串接龙
    • 9.有向图的完全可达性
    • 10.岛屿的周长
    • 11.寻找存在的路径
    • 12.冗余连接1
    • 13.冗余连接2
    • 14.寻宝

题目

8.字符串接龙

题目链接
在这里插入图片描述
本题的直观思路如下图所示；但该题有两个问题：1.图中的线是如何连接起来的 2.如何确定起点到终点的最短路径。题中没给出节点之间的连线，条件是字符智能差一个。这里无向图求最短路，广搜最为合适，广搜只要搜到了终点，那么一定是最短的路径。因为广搜就是以起点中心向四周扩散的搜索。另外得注意

  • 本题是无向图，需要用标记位，标记节点是否遍历过，否则就会死循环
  • 使用set检查字符串是否出现过会更快
    在这里插入图片描述
#include <iostream>
#include "vector"
#include "queue"
#include "unordered_map"
#include "unordered_set"

using namespace std;


int main(){
    string beginstr, endstr, strlist;
    int n;
    cin >>n;
    unordered_set<string> set; // store all the strings
    cin>> beginstr>> endstr;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin >> strlist;
        set.insert(strlist);
    }
    queue<string> q;
    q.push(beginstr);

    unordered_map<string, int> visited;
    visited[beginstr] = 1;
    while(!q.empty()) {
        string curstr = q.front();
        q.pop();
        int path = visited[curstr];
        for(int i=0; i<curstr.size(); i++){
            string newstr = curstr;
            for(int j=0; j<26; j++){
                newstr[i] = 'a'+j;
                if(newstr == endstr){
                    cout<< path+1<< endl;
                    return 0;
                }
                if(set.find(newstr)!=set.end() && visited.find(newstr)==visited.end()){
                    q.push(newstr);
                    visited[newstr] = path+1;
                }
            }
        }
    }
    cout<< 0<< endl;
    return 0;
}

9.有向图的完全可达性

题目链接
在这里插入图片描述
题目要求判断节点的完全可达性；有向图搜索全路径的问题。 只能用深搜（DFS）或者广搜（BFS）来搜。
1.确认递归函数，参数：需要传入地图，需要知道key（知道下一步的节点）。同时需要一个数组，记录已经遍历的节点，这样才能判断有无将所有的节点已经遍历。
2.终止条件：因为在深度搜索时，没进入下一层搜索，是根据当前节点所对的邻接表key-list中的指向的节点，因此这是有限的遍历，当把邻接表所有的边遍历完，即可退出。

#include <iostream>
#include "vector"
#include "list"

using namespace std;

void dfs(const vector<list<int>>& graph, int key, vector<bool>& visited){
    list<int> adjs = graph[key];
    for(int adj: adjs){
        if(!visited[adj]){
            visited[adj] = true;
            dfs(graph, adj, visited);
        }
    }
}


int main(){
    int n,m,s,t;
    cin>> n>> m;
    vector<list<int>> graph(n+1);
    while(m--){
        cin >>s >>t;
        graph[s].push_back(t);
    }
    vector<bool> visited(n+1,false);
    visited[1] = true;
    dfs(graph, 1, visited);
    for(int i=1; i<=n; i++){
        if(!visited[i]){
            cout<< -1<< endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<< 1<< endl;
    return 0;
}

10.岛屿的周长

题目链接
在这里插入图片描述
求中间岛屿的周长，如果是使用dfs，bfs搜索算法的话，就是当发现并遍历岛屿时，每遍历一个节点，就计算其四周临近海水的边数，统计总数即可。
但其实本题是可以不适用dfs，bfs搜索算法，直接执行全图的遍历，当遍历到陆地时，检查其四周节点的情况，当四周是海水，或者超出图范围时，可认为是其边界。

#include <iostream>
#include "vector"

using namespace std;


int main(){
    int n,m,s,t;
    cin>> n>> m;
    vector<vector<int>> graph(n, vector<int>(m, 0));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            cin>> graph[i][j];
        }
    }
    int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0,-1,0,0,-1};
    int res = 0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (graph[i][j] == 1) {
                for (auto &d: dir) {
                    int x = i + d[0];
                    int y = j + d[1];
                    if(x<0 || x>=n || y<0 || y>=m || graph[x][y]==0) res++;
                }
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

11.寻找存在的路径

题目链接
在这里插入图片描述
这题是并查集的基础题目，并查集解决的集合问题：1）判断两个节点在不在一个集合 2）将来两个节点添加到一个集合中

#include <iostream>
#include "vector"

using namespace std;

int n; // number of nodes
vector<int> father(n+1, 0);

// Union-Find Set's initialize Fucntion
void init(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        father[i] = i;
    }
}

// Union-Find Set's Find Function
int find(int u){
    return u == father[u]? u : father[u] = find(father[u]); // path compression 路径压缩
}

// Union-Find Set's Union Function
void join(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    if(u!= v) {
        father[v] = u;
    }
}

// Union-Finds Set's isSame Function
bool isSame(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

int main(){
    int m, s, t, source , destination;
    cin>> n>> m;
    init();
    while(m--){
        cin>> s>> t;
        join(s, t);
    }
    cin>> source>> destination;
    if(isSame(source, destination)) cout<< 1<< endl;
    else cout<< 0<< endl;
    return 0;
}

12.冗余连接1

题目链接
在这里插入图片描述
题目说是无向图，返回一条可以删去的边，使得结果图是一个有着N个节点的树（即：只有一个根节点）。如果有多个答案，则返回二维数组中最后出现的边。因此我们可以从前向后遍历边，边的两个节点如果不是在通过一个集合，就加入同一个集合（即，同一个根节点）；如果两个节点已经在同一个集合，不添加改变，避免成环（无法成为树）。

#include <iostream>
#include "vector"

using namespace std;

int n; // number of nodes
vector<int> father(n+1, 0);

void init(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        father[i] = i;
    }
}

// Union-Find Set's Find Function
int find(int u){
    return u == father[u]? u : father[u] = find(father[u]); // path compression
}

// Union-Find Set's Union Function
void join(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    if(u!= v) {
        father[v] = u;
    }
}

// Union-Finds Set's isSame Function
bool isSame(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

int main(){
    int s,t;
    cin>> n;
    init();
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>> s>> t;
        if(isSame(s, t)){
            cout<< s<< " "<< t<< endl;
            return 0;
        }
        else{
            join(s, t);
        }
    }
    return 0;
}

13.冗余连接2

题目链接
本题的本质是 ：有一个有向图，是由一颗有向树 + 一条有向边组成的 （所以此时这个图就不能称之为有向树），现在让我们找到那条边 把这条边删了，让这个图恢复为有向树，而且考虑若有多条边可以删除，请输出标准输入中最后出现的一条边。

有向树的特征是，节点的父子点是唯一的，即节点的入度是1；而且不能成环，必有一个节点的父子点是其自己，分为可以分为以下三种情况：
1.情况一：如果我们找到入度为2的点，那么删一条指向该节点的边就行了
在这里插入图片描述
2.情况二：节点3 的入度为 2，但在删除边的时候，只能删 这条边（节点1 -> 节点3），如果删这条边（节点4 -> 节点3），那么删后本图也不是有向树了（因为找不到根节点）
在这里插入图片描述
3.情况三：没有入度为2的点，说明 图中有环了，删除构成环的边（最后形成的）就可以了
在这里插入图片描述
给出代码

#include <iostream>
#include "vector"

using namespace std;

int n; // number of nodes
vector<int> father;

void init(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        father[i] = i;
    }
}

// Union-Find Set's Find Function
int find(int u){
    return u == father[u]? u : father[u] = find(father[u]); // path compression
}

// Union-Find Set's Union Function


void join(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    if(u!= v) {
        father[v] = u;
    }
}

// Union-Finds Set's isSame Function
bool isSame(int u, int v){
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

bool isTreeaftermove(const vector<vector<int>>& edges, int delete_index){
    init();
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i==delete_index) continue;
        if(isSame(edges[i][0], edges[i][1])) return false; // 出现环
        join(edges[i][0], edges[i][1]);
    }
    return true; // 无环
}

void moveEdge(const vector<vector<int>>& edges){
    init();
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(isSame(edges[i][0], edges[i][1])){
            cout<< edges[i][0]<< " " << edges[i][1]<< endl;
            return;
        }
        else{
            join(edges[i][0], edges[i][1]);
        }
    }
    return;
}

int main(){
    int s,t;
    cin>> n;
    father.resize(n+1,0);
    vector<vector<int>> edges(n, vector<int>(2,0)); // 存储边
    vector<int> indegree(n+1, 0); // 记录t节点的入度
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>> s>> t;
        edges[i][0] = s;
        edges[i][1] = t;
        indegree[t]++;
    }

    vector<int> vec; // 记录edges中使得出现入度位2节点出现的边的下标
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        if(indegree[edges[i][1]]==2) vec.push_back(i);
    }


    if(!vec.empty()){
        // 处理入度为2的边的节点 vec中有且只有2个元素
        if(isTreeaftermove(edges, vec[0])){
            cout<< edges[vec[0]][0]<< " " << edges[vec[0]][1]<< endl;
        }
        else {
            cout << edges[vec[1]][0] << " " << edges[vec[1]][1] << endl;
        }
        return 0;
    }
    else{
        // 处理自成环的节点
        moveEdge(edges);
        return 1;
    }
}

14.寻宝

题目链接
在这里插入图片描述
本题是最小生成树的模板题，最小生成树 可以使用 prim算法 也可以使用 kruskal算法计算出来。

最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。图中有n个节点，那么一定可以用 n - 1 条边将所有节点连接到一起。那么如何选择 这 n-1 条边 就是 最小生成树算法的任务所在。
在这里插入图片描述
prim算法核心就是三步，我称为prim三部曲，大家一定要熟悉这三步：

  • 第一步，选距离生成树最近节点
  • 第二步，最近节点加入生成树
  • 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
    prim算法代码：
#include <iostream>
#include "vector"
#include "climits"

using namespace std;

int main(){
    int v, e; // 节点数，边数
    int x, y, k;
    cin>> v>> e;
    vector<vector<int>> graph(v+1, vector<int>(v+1, INT_MAX));
    for(int i=0; i<e; i++){
        cin>> x>> y>> k;
        graph[x][y] = k;
        graph[y][x] = k;
    }
    vector<int> minDist(v+1, INT_MAX);
    vector<bool> visited(v+1, false);
    vector<int> parent(v+1, -1);  // 用于记录每个节点i能被到达的父节点

    for(int i=1; i<=v; i++){
        // 从i=1出发，默认根节点是1
        int cur = -1;
        int minVal = INT_MAX;
        // 选择距离源点最近的节点作检查
        for(int j=1; j<=v; j++){
            if(!visited[j] && minDist[j] < minVal){
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }
        // 更新minDist
        visited[cur] = true;
        for(int j=1; j<=v; j++){
            if(!visited[j] && graph[cur][j] < minDist[j]){
                minDist[j] = graph[cur][j];
                parent[j] = cur; // 记录边
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i=2; i<=v; i++){
        res += minDist[i];
    }
    cout<< res<< endl;
    return 0;
}

prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。kruscal的思路：

  • 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
  • 遍历排序后的边：1）如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环 2）如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
    kruskal算法实现
在这里插入代码片

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