🎯要点

1. 离散小波变换和逆离散小波变换
2. 时间序列谱分析
3. 计算比例图和频谱图显示数据
4. 莫莱小波时频数据表征
5. 海表温度异常的区域平均值
6. 捕捉市场波动时间频率关联信息
7. 信号和图像分解压缩重建
8. 降维
9. 分析金融波动
10. 连续小波卷积网络和离散小波信号分类
11. 图像处理、提取地震图速度和衰减参数
12. 高质量无噪音时频分析
    

Python哈尔小波

在数学中，哈尔小波是一系列重新缩放的“方形”函数，它们共同构成小波族或基。小波分析类似于傅立叶分析，因为它允许用正交基来表示间隔内的目标函数。哈尔序列现在被认为是第一个已知的小波基，并被广泛用作教学示例。哈尔小波也是最简单的小波。哈尔小波的技术缺点是它不连续，因此不可微分。然而，这一特性对于分析具有突然转变的信号（离散信号）来说却是一个优势，例如监控机器中的工具故障。

哈尔小波的母小波函数$\psi (t)$可以描述为
$$\psi (t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<\frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{2}\le t<1\\ 0& \text{ 否则 }\end{array}$$

其尺度函数$\phi (t)$可描述为
$$\phi (t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<1\\ 0& \text{ 否则 }\end{array}$$
与哈尔小波相关的 2×2 哈尔矩阵为
$$H_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
使用离散小波变换，可以将任意长度的偶数序列 $\left(a_0,a_1,\dots ,a_{2n},a_{2n+1}\right)$ 变换为二元序列 -向量 $\left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)$。如果将每个向量与矩阵 $H_2$ 右乘，则得到结果 $\left(\left(s_0,d_0\right),\dots ,\left(s_n,d_n\right)\right)$ 为快速哈尔小波变换的阶段。通常，我们将序列 $s$ 和 $d$ 分开，然后继续转换序列 $s$。序列 $s$ 通常被称为平均值部分，而 $d$ 被称为细节部分。

如果一个序列的长度是四的倍数，则可以构建 4 个元素的块，并使用 4×4 哈尔矩阵以类似的方式对其进行变换
$$H_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$$
它结合了快速哈尔小波变换的两个阶段。

一般来说，2N×2N 哈尔矩阵可以通过以下等式导出。
$$H_{2N}=\left[\begin{array}{c}{H}_N\otimes [1,1]\\ I_N\otimes [1,-1]\end{array}\right]$$
其中 $I_N=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$ 和 $\otimes$ 是克罗内克积。

Python示例

哈尔小波的特点是简单和二元阶跃函数。其结构有利于图像和信号处理、数值分析，甚至数据压缩领域。其主要优势在于能够提供有关特定函数或数据集的局部频率信息。我们将使用 TensorFlow演示一维离散哈尔小波变换。

pip install numpy
pip install tensorflow

def haar1d_layer(x):
    outputs = []
    len = x.shape[1]

    while len > 1:
        v_reshape = tf.reshape(x, [-1, len//2, 2])
        v_diff = v_reshape[:,:,1:2] - v_reshape[:,:,0:1]
        v_diff = tf.reshape(v_diff, [-1, len//2])
        outputs.append(v_diff)
        x = tf.reduce_mean(v_reshape, axis=2)
        len = len // 2

    outputs.append(x)
    return tf.concat(outputs, 1)

def haar1d_inv_layer(x):
    idx = 1
    len = x.shape[1]
    while idx < len:
        v_avg = x[:, -idx:]
        v_avg = tf.reshape(v_avg, [-1, idx, 1])
        v_delta = x[:, (len - (idx << 1)):(len - idx)] / 2
        v_delta = tf.stack([-v_delta, v_delta], axis=2) 
        v_out = v_avg + v_delta
        v_out = tf.reshape(v_out, [-1, idx*2])
        x = tf.concat([x[:, :-(idx << 1)], v_out], axis=1)
        idx = idx << 1
    return x

haar1d_layer() 函数对输入向量中的元素对进行迭代，计算每对元素的平均值和差异，并将它们写入 output_vector。haar1d_inv_layer() 函数执行相反的操作，从 input_vector 中获取平均值和差异对，并计算原始值，然后将它们写入 output_vector。函数 stack() 用于将 TensorArray 转换为 Tensor。

使用上述函数

v = tf.Variable([
    [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16],
    [16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
],dtype=tf.float32)


x = layers.Input(shape=(v.shape[1],))
y = haar1d_layer(x)
encoder = Model(x, y)
encoded = encoder.predict(v)
print(encoded)

y = haar1d_inv_layer(x)
decoder = Model(x, y)
decoded = decoder.predict(encoded)
print(decoded)

运行时，您将看到转换后的向量以及转换后向量的反转结果，该结果应与原始输入向量相同。

👉更新：亚图跨际