最短路算法详解（Dijkstra 算法，Bellman-Ford 算法，Floyd-Warshall 算法）

news2024/11/13 14:36:17

文章目录

  • 一、Dijkstra 算法
  • 二、Bellman-Ford 算法
  • 三、Floyd-Warshall 算法

由于文章篇幅有限，下面都只给出算法对应的部分代码，需要全部代码调试参考的请点击： 图的源码

最短路径问题：从在带权图的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。涉及到三个算法：

  1. 单源最短路径：Dijkstra 算法（迪杰斯特拉算法）（不能解决负权图）
  2. 单源最短路径：Bellman-Ford 算法（贝尔曼-福特算法）（可以解决负权图）
  3. 多源最短路径：Floyd-Warshall 算法（弗洛伊德算法）（可以解决负权图）

注意：本文采用的图是邻接矩阵实现的。

一、Dijkstra 算法

  • 算法概括：

Dijkstra 是一种求解非负权图上单源最短路径的算法。

  • 算法流程：

其过程为：将结点分成两个集合，已确定最短路长度的点集（记为 S 集合）和未确定最短路长度的点集（记为 T 集合）。一开始所有的点都属于 T 集合。

需要对 dist 数组（存储最短路的长度）进行初始化，除了起点设置为 0 外，其它的都设置为无穷大。

接着重复如下操作：

  • 从 T 集合中，选取一个最短路长度最小的节点，移动到 S 集合中。
  • 对那些刚刚加入 S 集合的结点的所有出边执行松弛操作。

直到 T 集合为空，算法结束。

  • 时间复杂度：

每次确定一个顶点 O（n），并松弛其连接出去的所有边（最多有 n - 1条），其时间复杂度为 O（n ^ 2）。

松弛操作：在这里插入图片描述
对于起点 B 到达点 A，松弛操作对应如下的式子：dis(A) = min(dis(A) , dis(C ) + 边 CA），当确定一个顶点的最短路径后，对其连出去的所有边进行松弛操作。

过程演示如下图：
在这里插入图片描述

  • 代码如下：
/**
     * @param vSrc  起点
     * @param dist  存储从起点到各个顶点的最小权值
     * @param pPath 存储各个顶点到起点的最短权值路径
     */
    public void dijkstra(char vSrc, int[] dist, int[] pPath) {
        //用来标记已经确定的点
        boolean[] vis = new boolean[size];
        //获取起点对应下标
        int srcIndex = getVIndex(vSrc);
        //初始化 dist 和 pPath
        Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
        Arrays.fill(pPath, -1);//最终结果为 -1 说明起点到达不了
        //起点到起点为 0
        dist[srcIndex] = 0;
        pPath[srcIndex] = srcIndex;
        //填写 dist
        for (int i = 0; i < size; i++) {//一共要填写 size 次
            //确定一条最短的路径
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            int u = srcIndex;
            for (int v = 0; v < size; v++) {
                if (vis[v] == false && min > dist[v]) {
                    min = dist[v];
                    u = v;
                }
            }
            vis[u] = true;
            //进行松弛操作 + 填写 pPath
            //一个顶点出度最大为 size，把不存在的排除即可
            for (int v = 0; v < size; v++) {
                if (vis[v] == false && matrix[u][v] != Integer.MAX_VALUE && dist[u] + matrix[u][v] < dist[v]) {
                    dist[v] = dist[u] + matrix[u][v];
                    pPath[v] = u;
                }
            }
        }
    }
  • 测试 Dijkstra 算法：

通过打印最短路的顶点组成和最短路的长度，即可验证正确性。

public void printShortPath(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {
        int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);

        int n = arrayV.length;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //i下标正好是起点  则不进行路径的打印
            if(i != srcIndex) {
                ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();
                int pathI = i;
                while (pathI != srcIndex) {
                    path.add(pathI);
                    pathI = pPath[pathI];
                }
                path.add(srcIndex);

                Collections.reverse(path);

                for (int pos : path) {
                    System.out.print(arrayV[pos]+" -> ");
                }
                System.out.println(dist[i]);
            }
        }
    }

    public static void testGraphDijkstra() {
        String str = "syztx";
        char[] array = str.toCharArray();
        GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
        g.initArrayV(array);
        g.addEdge('s', 't', 10);
        g.addEdge('s', 'y', 5);
        g.addEdge('y', 't', 3);
        g.addEdge('y', 'x', 9);
        g.addEdge('y', 'z', 2);
        g.addEdge('z', 's', 7);
        g.addEdge('z', 'x', 6);
        g.addEdge('t', 'y', 2);
        g.addEdge('t', 'x', 1);
        g.addEdge('x', 'z', 4);
        int[] dist = new int[array.length];
        int[] parentPath = new int[array.length];
        g.dijkstra('s', dist, parentPath);
        g.printShortPath('s', dist, parentPath);
    }

运行结果为：

构建的图为过程演示时的图。

在这里插入图片描述
显然正确🎉🎉🎉

二、Bellman-Ford 算法

  • 算法概括：

Bellman–Ford 算法是一种基于松弛操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进行判断。

  • 算法流程：

Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛。我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止。

  • 时间复杂度：

在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 + 1，而最短路的边数最多为 n - 1，因此整个算法最多执行 n - 1 轮松弛操作。故总时间复杂度为 O（n * m）。其中 n 为顶点个数，m 为 边的个数。

  • 代码如下：
/**
     *
     * @param vSrc 起点
     * @param dist 存储从起点到各个顶点的最小权值
     * @param pPath 存储各个顶点到起点的最短权值路径
     * @return 返回 true 表示该图不存在负权回路，返回 false 表示该图存在负权回路
     */
    public boolean bellmanFord(char vSrc, int[] dist, int[] pPath) {
        //获取顶点下标
        int srcIndex = getVIndex(vSrc);
        //初始化数据
        Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
        Arrays.fill(pPath, -1);
        dist[srcIndex] = 0;
        pPath[srcIndex] = srcIndex;
        //松弛操作
        //进行 size 次
        for (int k = 0; k < size; k++) {
            //遍历每条边
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                for (int j = 0; j < size; j++) {
                    if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE && dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {
                        dist[j] = dist[i] + matrix[i][j];
                        pPath[j] = i;
                    }
                }
            }
        }
        //判断是否存在负回路
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE && dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {
                    return false;//存在负回路
                }
            }
        }
        return true;//不存在负回路
    }
  • 测试 Bellman-Ford 算法：

下面的测试案例就是根据这张图进行设计的。
在这里插入图片描述

public static void testGraphBellmanFord() {
        String str = "syztx";
        char[] array = str.toCharArray();
        GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(), true);
        g.initArrayV(array);
        for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
            Arrays.fill(g.matrix[i], Integer.MAX_VALUE);
        }
        //负权回路实例
//        g.addEdge('s', 't', 6);
//        g.addEdge('s', 'y', 7);
//        g.addEdge('y', 'z', 9);
//        g.addEdge('y', 'x', -3);
//        g.addEdge('y', 's', 1);
//        g.addEdge('z', 's', 2);
//        g.addEdge('z', 'x', 7);
//        g.addEdge('t', 'x', 5);
//        g.addEdge('t', 'y', -8);
//        g.addEdge('t', 'z', -4);
//        g.addEdge('x', 't', -2);

        //不存在负权回路的情况
        g.addEdge('s', 't', 6);
        g.addEdge('s', 'y', 7);
        g.addEdge('y', 'z', 9);
        g.addEdge('y', 'x', -3);
        g.addEdge('z', 's', 2);
        g.addEdge('z', 'x', 7);
        g.addEdge('t', 'x', 5);
        g.addEdge('t', 'y', 8);
        g.addEdge('t', 'z', -4);
        g.addEdge('x', 't', -2);

        int[] dist = new int[array.length];
        int[] parentPath = new int[array.length];
        boolean fig = g.bellmanFord('s', dist, parentPath);
        if (fig) {
            g.printShortPath('s', dist, parentPath);
        } else {
            System.out.println("存在负权回路");
        }

    }

运行结果如下：
在这里插入图片描述

三、Floyd-Warshall 算法

  • 算法概括：

Floyd-Warshall 算法是用来求任意两个结点之间的最短路的。适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在（不能有个负环） ，复杂度比较高。

  • 算法流程：

Floyd-Warshall 算法的原理是动态规划。

设 D(i,j,k) 为从 i 到 j 的只以(1…k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

  1. 若最短路径不经过 k，则 D(i,j,k) = D(i,j,k - 1)。
  2. 若最短路径经过 k，则 D(i,j,k) = D(i,k,k - 1) + D(k,j,k - 1)。（k - 1 不影响起点和终点取 k）

因此，D(i,j,k) = min(D(i,j,k - 1)，D(i,k,k - 1) + D(k,j,k - 1))。

在实际算法中，为了节省空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

  • 时间复杂度：

k 的取值从 1 到 n，每次 k 都要进行一次完整的动态规划。时间复杂度为 O（n ^ 3）。

  • 代码如下：
/**
     *
     * @param dist 存储各个顶点之间的最小权值
     * @param pPath 存储各个顶点之间的最短权值路径
     */
    public void floyWarShall(int[][] dist, int[][] pPath) {
        //初始化
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            Arrays.fill(dist[i], Integer.MAX_VALUE);
            Arrays.fill(pPath[i], -1);
        }
        //将边填入到 dist 数据，给后续动态规划初始化
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                //存在边
                if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {
                    dist[i][j] = matrix[i][j];
                    pPath[i][j] = i;
                    //边不存在的情况
                } else {
                    pPath[i][j] = -1;
                }
                if (i == j) {
                    dist[i][j] = 0;
                    pPath[i][j] = -1;
                }
            }
        }
        //动态规划
        for (int k = 0; k < size; k++) {
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                for (int j = 0; j < size; j++) {
                    if (dist[i][k] != Integer.MAX_VALUE && dist[k][j] != Integer.MAX_VALUE &&
                            dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                        pPath[i][j] = pPath[k][j];
                    }
                }
            }
        }
        
        //下面的代码为测试代码，打印 dist，和 pPath

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                if (dist[i][j] == Integer.MAX_VALUE) {
                    System.out.print(" * ");
                } else {
                    System.out.print(dist[i][j] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("=========打印路径==========");
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                System.out.print(pPath[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("=================");
    }
  • 测试 Floyd-Warshall 算法：

测试图例如下：
在这里插入图片描述

public static void testGraphFloydWarShall() {
        String str = "12345";
        char[] array = str.toCharArray();
        GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(), true);
        g.initArrayV(array);
        //没有边，设置为 最大值。
        for (int i = 0; i < g.size; i++) {
            Arrays.fill(g.matrix[i], Integer.MAX_VALUE);
        }
        g.addEdge('1', '2', 3);
        g.addEdge('1', '3', 8);
        g.addEdge('1', '5', -4);
        g.addEdge('2', '4', 1);
        g.addEdge('2', '5', 7);
        g.addEdge('3', '2', 4);
        g.addEdge('4', '1', 2);
        g.addEdge('4', '3', -5);
        g.addEdge('5', '4', 6);
        int[][] dist = new int[array.length][array.length];
        int[][] parentPath = new int[array.length][array.length];
        g.floyWarShall(dist, parentPath);
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            g.printShortPath(array[i],dist[i],parentPath[i]);
        }
    }

运行结果如下：
在这里插入图片描述

下图为测试图例的过程图。
在这里插入图片描述
通过对比可以发现，我们的运行结果是正确的（路径会差 1，因为下标是从 0 开始的）。

参考资料：OI-wiki。

结语：
其实写博客不仅仅是为了教大家，同时这也有利于我巩固知识点，和做一个学习的总结，由于作者水平有限，对文章有任何问题还请指出，非常感谢。如果大家有所收获的话还请不要吝啬你们的点赞收藏和关注，这可以激励我写出更加优秀的文章。
在这里插入图片描述

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GD - GD32350R_EVAL - PWM实验和验证1

GD - GD32350R_EVAL - PWM实验和验证1

文章目录 GD - GD32350R_EVAL - PWM实验和验证1概述笔记实验设计实验环境GD32350R_EVAL 的硬件连接修改程序配置 - 只产生PWM波&#xff0c;不要CMP清除波形TIMER0时钟设置TIMER0的PWM设置参数设置main()中PWM波形的开启代码示波器测量结果如果要产生4KHZ的PWM需要设置怎样的参…
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在centos系统中kill掉指定进程

在centos系统中kill掉指定进程

如上图&#xff0c;我想kill掉 python3 func_tg_1_vps.py这个进程&#xff08;而不kill掉python3 func_tg_2_vps.py&#xff09;。 解决方法&#xff1a; 第一步&#xff1a;首先使用ps -ef | grep python3命令&#xff0c;查出所有包含python3的命令 拿其中一条讲解 root …
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开放式耳机漏音有多大？开放式耳机是否值得购买？

开放式耳机漏音有多大？开放式耳机是否值得购买？

开放式耳机确实存在漏音的问题&#xff0c;这是因为其设计原理决定的。开放式耳机不像封闭式耳机那样完全封闭耳道&#xff0c;因此声音会向外散播&#xff0c;导致漏音。不过&#xff0c;随着技术的发展&#xff0c;许多耳机制造商已经开始着手解决这个问题&#xff0c;通过改…
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Git之2.0版本重要特性及用法实例(五十六)

Git之2.0版本重要特性及用法实例(五十六)

简介&#xff1a; CSDN博客专家、《Android系统多媒体进阶实战》一书作者. 新书发布&#xff1a;《Android系统多媒体进阶实战》&#x1f680; 优质专栏&#xff1a; Audio工程师进阶系列【原创干货持续更新中……】&#x1f680; 优质专栏&#xff1a; 多媒体系统工程师系列…
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VScode 使用记录

VScode 使用记录

插件 1、代码提示插件&#xff1a;Codeium 安装说明&#xff1a;Codeium&#xff1a;强大且免费的AI智能编程助手 - Su的技术博客 (verysu.com) 用google账号登陆&#xff0c;跳转按照官网给的三个步骤来 step1&#xff1a;复制token&#xff1b; step2&#xff1a;在文件页…
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中秋佳节，南卡Runner Pro5骨传导耳机让团圆更圆满！

中秋佳节，南卡Runner Pro5骨传导耳机让团圆更圆满！

中秋节&#xff0c;这个承载着温馨与团圆的节日&#xff0c;是向亲朋好友表达深情厚意的绝佳时刻。在这样一个特别的日子里&#xff0c;挑选一份既实用又充满科技感的礼物&#xff0c;无疑能够给人们带来惊喜与感动。南卡Runner Pro5骨传导耳机&#xff0c;凭借其创新的设计和卓…
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绿色消费新动力：‘众店‘模式引领数字经济下的零售创新

绿色消费新动力：‘众店‘模式引领数字经济下的零售创新

在数字浪潮的推动下&#xff0c;传统零售业正经历着前所未有的转型。绿色消费积分系统&#xff0c;在这一变革中崭露头角&#xff0c;成为新兴消费平台的佼佼者。 一、"众店"平台的快速崛起 仅用两年时间&#xff0c;"众店"平台就实现了巨大的飞跃&#x…
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代码随想录算法训练营day58：图论08：拓扑排序精讲；dijkstra（朴素版）精讲

代码随想录算法训练营day58：图论08：拓扑排序精讲；dijkstra（朴素版）精讲

拓扑排序精讲 卡码网&#xff1a;117. 软件构建(opens new window) 题目描述&#xff1a; 某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件&#xff0c;文件编号从 0 到 N - 1&#xff0c;在这些文件中&#xff0c;某些文件依赖于其他文件的内容&#xff0c;这意味着如果文件 A 依…
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4_PMSM基于s函数的仿真建模_1

4_PMSM基于s函数的仿真建模_1

为了检验电机仿真模型的正确性&#xff0c;&#xff0c;以基于s函数方法搭建的数学模型为例&#xff0c;搭建如图的三相所示的简单三相PMSM矢量控制系统&#xff0c;此模型忽略了PWM逆变器的影响。另外&#xff0c;感兴趣的同志可以对基于Simulink方法搭建的仿真模型进行验证。…
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