线性代数 第三讲 线性相关无关 线性表示

1.向量运算

加减数乘与矩阵一样

向量内积:
内积记作(a , b),即（a，b）=a^Tb，内积还是矩阵乘法。

向量正交:
正交：两个向量内积=0时，两个向量正交，在二维平面上，可以理解为两个向量垂直

向量的模长：每一个元素的平方加和，再取根号。

标准正交向量组（规范正交基)：
定义：列向量组a₁，a₂，a₃…a_s,他们之间的乘积满足，任意两个列向量组(可以自身✖️自身），一个转置的情况，不同列向量组内积=0，自身✖️自身内积=1

正交矩阵：
设A是n阶方阵，满足ATA=E，就称A是正交矩阵，A的行(列)向量组是规范正交基。

作用：逆时针旋转，不改变性质，只改变位置

1.线性相关与线性无关

1.1 线性相关与线性无关基本概念

线性相关:
m个n维向量a₁…，存在一组数k其中有不全为0的数，使得k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃…=0成立，则称向量a₁,a₂…线性相关

简言之，就是有关系，没关系的情况下，只能k都等于0的情况下才能成立，有关系的话就可以做差了。

线性无关:
只有k全为0的情况下才成立

2.线性表示（线性组合）

m个n维向量(a₁,a₂,a₃…)和m个数(k₁,k₂,k₃…),k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃…=β,称为β是a₁,a₂,a₃…的线性组合，或者说β由a₁,a₂,a₃…的线性表示。

注意：这里的线性表示是向量由向量组表示，不是向量组与向量组的，向量组和向量组之间的线性表示，意味着，某个向量组的全部向量，都可以由另一个向量组线性表示。

3.线性相关无关与线性表示的定理大总结

3.1 向量β可由向量组线性表出的同义翻译

3.2 向量组线性相关的同义翻译

解释说明：
秩是线性无关向量的个数，要想让向量组线性相关，自然秩要小于向量组中向量的个数

推论:

1. n个n维向量组成的向量组，线性相关的充分必要条件是行列式|a₁,a₂,a₃…|=0（克莱默法则，主要是行列式好算）
2. n+1个n维向量一定线性相关

3.3 向量组部分相关，整体相关，整体无关，部分无关

如果向量组a1，a2，a3，…中一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
逆否命题：如果a1，a2，a3，…线性无关，则其任一一部分向量组都线性无关。

3.4 缩短组线性无关，延伸组线性无关，延伸组线性相关，缩短组线性相关

3.5 线性表示和线性相关的联系(充要条件)

若一个向量组线性相关，则必有一个向量可有其余的向量线性表示。
反之也成立。

3.6 原本向量组线性无关，添加向量后线性相关

新添加的向量必由原本向量组的其余向量唯一表示

3.7 多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关

多数向量中，肯定有能被约掉的，所以线性相关。
r(少数向量组)≥r(多数向量组)

4. 重难点题型总结

4.1 证明向量组线性无关

方法一:定义法
核心思想：通过恒等变形解决问题：
恒等变形两条路径:

• 乘
• 重组

例1:已知α₁，α₂，α₃线性无关，证明3α₁+2α₂，α₂-α₃，4α₃-5α₁线性无关

例2:设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若A^m-1α≠0,A^mα=0,证明向量组α，Aα，A²α，…A^m-1α线性无关

方法二:秩
理论基础:

r(AB)≤min(r(A),r(B)),若A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)

例1:已知α₁，α₂，α₃线性无关，证明3α₁+2α₂，α₂-α₃，4α₃-5α₁线性无关

证明向量组的秩(线性无关向量的个数就是秩)为3，即可说明向量组线性无关

例2:A是m*n维矩阵,r(A)=n,α₁,α₂,α₃ n维无关，证明Aα₁,Aα₂,Aα₃线性无关

证明如下:
(Aα₁,Aα₂,Aα₃)=A(α₁,α₂,α₃)
因为r(A)=n,A可逆
r(Aα₁,Aα₂,Aα₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3
故Aα₁,Aα₂,Aα₃线性无关

4.2 判断线性无关(选择题)

已知向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
(A)α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁
(B)α₁+α₂，α₂+2α₃，α₁+2α₂₊α₃，α₁-α₂+5α₃
(C)α₁+2α₂，2α₂+3α₂，3α₃-α₁
(D)α₁+α₂-α₃，2α₁+3α₂+12α₃，3α₁+5α₂+25α₃

该类问题，用观察法+秩判断
观察法举例:
如B选项，4个向量由α₁,α₂,α₃三个向量表示，多数由少数表示，多数必是线性相关的
如C选项，通过加加减减能=0，说明他们是线性相关的