平衡点分析

从第3章的工作中，我们能够对线性系统的解有定性和解析的理解。不幸的是，非线性系统通常不容易使用我们开发的解析和代数技术来分析，但我们可以利用线性系统的数学来理解非线性系统在其平衡点附近的行为。

Van der Pol 方程

为了说明如何分析平衡点附近解的行为，我们从一个简单但重要的非线性系统——Van der Pol 系统开始。回顾一下，Van der Pol 系统是：
$$\frac{dx}{dt}=y$$
$$\frac{dy}{dt}=-x+(1-x^2)y$$

我们在第2.5节中对这个系统进行了数值研究（见第198页），其方向场和相图如图5.1所示。

这个系统的唯一平衡点是原点，因此让我们研究平衡点附近解的行为。方向场显示，解绕原点旋转，如果我们绘制平衡点附近解的数值近似图，我们会看到类似螺旋源的图像（见图5.2）。

我们可以通过将 Van der Pol 系统近似为另一个更容易分析的系统来理解解为何从原点螺旋出去。虽然该系统是非线性的，但只有一个非线性项，即 $x^{2}y$ 项。在这个线性系统的近似中，我们可以得到一个关于平衡点附近行为的有用的线性近似。

如果 $x$ 和 $y$ 都很小，那么 $x^{2}y$ 项会比方程中的其他项小得多。例如，如果 $x$ 和 $y$ 都是 0.1，那么 $x^{2}y$ 项是 0.001，显著小于 $x$ 或 $y$ 的值。如果 $x$ 和 $y$ 都是 0.01，那么 $x^{2}y=10^{-6}$，这再次比 $x$ 或 $y$ 的值小得多。也许我们可以通过忽略 $x^{2}y$ 项来近似 Van der Pol 系统，尤其是在 $x$ 和 $y$ 都接近 0 的情况下。如果我们从系统中去掉这个项，那么我们得到的是：

d x d t = y \frac{dx}{dt} = y