论文：六自由度机械臂轨迹规划研究，马强

上一篇，介绍了一些基础知识，那么接下来是这篇论文的核心部分，轨迹规划的事。

一般来说，轨迹规划有2种，一种是对于笛卡尔坐标系，一种是对于关节空间坐标系，对于笛卡尔坐标系来说存在诸多的缺点。

        而此篇论文采用的方式就是多段多项式插值的方式，并不是采用传统的三次，五次多项式的初始点和终止点的条件来确定的，而是再其运动过程中利用插值的方式多加几个控制点和利用组合的方式进行控制，有什么有点呢？最后会讲到。对于插值的轨迹规划要满足以下四个条件。

接来就步入正题：

首先我们需要确定的是：

 路径点：

 轨迹的约束条件需要满足：

之后采用分段式多项式进行讨论，通常的方法是：

以4-3-4以及3-5-3插值关节轨迹的计算

首先的话，需要对时间进行归一化，也就是各个段的轨迹初始时间都是从0变到1的，定义变量。

这里很重要，为后面坐铺垫，总得来说就坏是归一化时间t。

同时多段多项式轨迹规划是由多组多项式组成的。如下：

 同时需要满足以下条件：

根据上面的已知条件，并利用图像的形式进行表示出来。

 这里注意：实际时间tao与t 是有关系的，也就是说这个是一个链式法则。所以有：

 

 对于加速度也是同样的道理：即：第一段是四次多项式，所以分别对时间求一阶导和二阶导，得

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第一段：

根据条件，当t等0时，速度和加速度都是0，初始点的位置不一定是0，可以知道：

之后带入原四次多项式里面得到公式；

 即：第一段的轨迹方程如上。

我们知道要保证速度和加速度连续，也就说第一段的最后的速度和加速度等于第二的开始的速度二和加速度，所以我们有：

第二段：

同时我们规定:

我们把时间0带入进去，那么就有人会问了，为什么是0啊，不是1的（上一段结束时为1），是这样。 就如刚才所说的，第一段的末速度和末加速度等于第二段的初速度和初加速度。

对其进行带入和解算。

第二段的时间为1时候，也就是达到了下降点，我们带入方程得到：

 第三段（末段）时：

根据最基础的多项式求导，完后把经过的时间转换成-1到0，这样的作用是：保证连续，同时化简简单，如果等于t等于0时刻是初始点的话，就剩下一个未知数了，后面难以化简。

 那么接下来就是当t等于0时，作为终止点，计算得到。

 当t等于-1时，作为初始点，得到：

为了保证连续，知道第二段的终止点的速度和加速度等于第三段初始点的速度和加速度，得到：

 综上可将，通过计算我们知道了所有的有关知识点，但是还缺少一个东西，就是第一段，第二段，第三段他们之间的关节差，这个的作用是保证在那个具体的位置进行改变，还有一个就是方便化简。即：

最后的话，就是化简并整理。

 需要注意的是：

解释

最终的话：我们结合起来得到：带入之前求到的轨迹方程。