算法-容斥原理

news2024/12/28 18:22:20

venn图：

如何求三个圆圈的面积之和？

$\left |A\bigcup_{}^{} B\bigcup C \right | = \left | A \right | + \left | B \right |+\left | C\right | - \left | A\bigcap B \right |- \left | A\bigcap C \right | - \left | B\bigcap C\right |+\left | A\bigcap B\bigcap C \right |$

此时，||不代表绝对值，代表集合的个数

解题思路：

实际上，我们不需要知道每个集合中的元素具体是什么，只需要知道每个集合的大小

例如 $|S1|=10\, /\, 2=5$ ，表示10以内能够被2整除的数有5个，每个集合的大小可以根据 $n\, /\, p$ 来确定。

那么 $pi\bigcap pj$ 的集合大小怎么算呢，其实就是 $n\, /\, (pi\, * \, pj)$

最后就是如何用代码表示每个集合状态（选或者没有选）？

在这里使用二进制，以 m = 4为例，需要四个二进制位来表示4个集合选中与不选的状态

1101这里表示选中集合S1,S2,S4，故这个集合中元素的个数为 $n\, /\, (p1\**p2\**p4)$

观察公式不难得出选中集合的个数决定了是正或负，奇数为正，偶数为负

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 20;
int n,m;
int p[N];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++) cin >> p[i];

    int res = 0;
    //把i看成m位的二进制
    // 举所有可能的子集
    for(int i = 1; i < 1 << m; i++){
        int t = 1;//乘积作为分母，求该集合元素的个数
        int s = 0; //选中集合的个数

        for(int j = 0; j < m; j++){
            //第j个集合为1，表示选中
            if(i >> j & 1){
                if((ll) t * p[j] > n){
                    t = -1;
                    break;
                }
                s++;
                t *= p[j];

            }
        }
        if(t == -1) continue;// 跳过
        if(s & 1) res += n / t;
        else res -= n / t;

    }
    cout << res <<'\n';
    return 0;
}

1. 外层循环的作用

外层循环 for(int i = 1; i < 1 << m; i++) 的目的是枚举所有可能的子集。在代码中，m 表示输入的 p 数组中的元素个数，也就是子集的元素个数。

1 << m 是 2^m，代表有 m 个元素的集合所能产生的所有子集的数量。例如，如果 m = 3，那么 1 << m 的值就是 2^3 = 8，也就是 {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}，这8种情况分别代表不同的子集。

2.外层循环的过程

一个长度为 m 的数组 p，我们要枚举所有 p 的子集。可以把 m 个元素的数组 p 的每一个子集看作一个长度为 m 的二进制数。这个二进制数中的每一位（0 或 1）表示对应位置的元素是否在子集中：

如果第 j 位是 1，表示 p[j] 这个元素在子集中。
如果第 j 位是 0，表示 p[j] 这个元素不在子集中。

举个例子

假设 p = [2, 3, 5]，也就是 m = 3。

对于每一个子集，我们可以用一个 3 位的二进制数来表示：

i = 0 (000): 空集 {}
i = 1 (001): 子集 {5}
i = 2 (010): 子集 {3}
i = 3 (011): 子集 {3, 5}
i = 4 (100): 子集 {2}
i = 5 (101): 子集 {2, 5}
i = 6 (110): 子集 {2, 3}
i = 7 (111): 子集 {2, 3, 5}

在二进制中，第 i 位为 1 表示选中了数组 p 中的第 i 个元素。

3.演示代码过程

输入和初始化

输入的 n = 10，m = 2，集合 p = {2, 3}。程序初始化 res = 0。

枚举子集

代码中的外层循环 for(int i = 1; i < 1 << m; i++) 会枚举所有的非空子集：

i = 1 对应二进制 01，表示子集 {2}
i = 2 对应二进制 10，表示子集 {3}
i = 3 对应二进制 11，表示子集 {2, 3}

子集计算过程

子集 {2} (i = 1, 二进制 01)：
- s = 1（因为选中了1个元素）
- t = 2（当前子集的乘积为2）
- 计算 10 / 2 = 5（1 到 10 中能被 2 整除的数有 5 个）。
- 因为 s 是奇数，所以 res += 5，当前 res = 5。
子集 {3} (i = 2, 二进制 10)：
- s = 1（因为选中了1个元素）
- t = 3（当前子集的乘积为3）
- 计算 10 / 3 = 3（1 到 10 中能被 3 整除的数有 3 个）。
- 因为 s 是奇数，所以 res += 3，当前 res = 8。
子集 {2, 3} (i = 3, 二进制 11)：
- s = 2（因为选中了2个元素）
- t = 6（2 和 3 的乘积为6）
- 计算 10 / 6 = 1（1 到 10 中能被 6 整除的数有 1 个）。
- 因为 s 是偶数，所以 res -= 1，当前 res = 7。