全国大学生数学建模大赛——黄花鱼的最优捕捞策略

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨设为捕捞强度系数。通常使用 13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

考虑对黄花鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条

鱼的平均质量分别为5.07、11.55、17.86、22.99(g),各年龄组的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×10⁵(个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率(1 龄鱼条数与产卵量n 之比)为：

其中，n 为产卵总量。

(1)建立数学模型分析在采用固定努力量的捕捞方式的前提下，如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),得到最高的年收获量(捕捞总质量)。

(2)略。

[提示：读题并做出如下假设]

[1]鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡(连续)

[2]捕捞是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生

[3]1、2龄鱼体形太小，不能被捕

[4]3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中产卵

[5]i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1,2,3, 其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼

[在问题分析之前，设定T为年份，x(t)为t 时刻i 龄鱼的条数，r 为自然死亡率，n 为年产卵数量，f为年捕捞量，k 为捕捞强度系数]

论文展示

黄花鱼的最优捕捞策略

摘要

本文旨在探讨在固定努力量捕捞方式下，如何实现黄花鱼的可持续捕捞，并达到最高的年收获量（捕捞总质量）。通过建立数学模型，我们分析了各年龄组鱼群数量的动态变化，以及捕捞活动对鱼群数量的影响。在满足可持续捕捞条件的前提下，我们优化了捕捞强度系数，以最大化年收获量。

问题分析
1. 问题背景

在探讨黄花鱼的最优捕捞策略时，我们的主要目标是实现可持续捕捞，即在保证鱼群数量稳定的前提下，达到最高的年收获量（捕捞总质量）。为了实现这一目标，我们需要对鱼群的动态变化进行数学建模，并优化捕捞强度系数。

1. 问题提出

问题一：可持续捕捞的定义,可持续捕捞意味着每年的捕捞活动不会导致鱼群数量的显著减少，即捕捞后的鱼群数量能够恢复到捕捞前的水平。在数学上，这表现为各年龄组鱼群条数在连续年份之间保持不变。

问题二：鱼群动态变化的建模,鱼群的动态变化包括自然死亡、年龄增长、繁殖和捕捞四个主要方面。我们需要根据这些方面建立数学模型：

问题三：自然死亡，每年各年龄组的鱼都会有一定比例的自然死亡，这可以通过自然死亡率 r 来描述。年龄增长：每年，i 龄鱼会成长为 i+1 龄鱼（除了4龄鱼，它们会保持为4龄鱼。繁殖：3龄鱼和4龄鱼在每年的后4个月产卵，产卵量取决于它们的数量，并且新孵化的鱼成为1龄鱼。捕捞：每年前8个月进行捕捞，只捕捞3龄鱼和4龄鱼，捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数为捕捞强度系数 k。

问题四：捕捞强度系数的优化，捕捞强度系数 k 是我们需要优化的关键参数。通过调整 k，我们可以控制捕捞量，从而在保证可持续捕捞的前提下，最大化年收获量。

模型假设与符号说明

2.1模型基本假设

（1）鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡(连续)

（2）捕捞是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生

（3）1、2龄鱼体形太小，不能被捕

（4）3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中产卵

（5）i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1,2,3, 其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼

2.2符号说明

表1 符号说明

符号	含义	备注
T	年份
xi(t)	T时刻i龄鱼的条数	i=1,2,3,4
r	自然死亡率	给定为0.8/年
n	年产卵数量
f	年捕捞量
k	捕捞强度系数
k3和 k4	分别为3龄鱼和4龄鱼的捕捞系数	k3:k4=0.42:1

问题一模型建立与求解

3.1求解思路

由于这是一个连续时间动态系统，我们可以使用数值方法来模拟系统的行为。

设定初始条件xi(t)（假设它们已知或基于历史数据）。使用数值积分（如Euler方法、Runge-Kutta方法等）求解动态方程，计算每年的捕捞量f。

调整k或α,β以最大化f同时保持xi(t)不变。

3.2模型建立

繁殖与孵化：

1龄鱼的数量由上一年的产卵量和成活率决定：

自然死亡与年龄增长：

对于2龄、3龄和4龄鱼：

年捕捞量：

为了实现可持续捕捞，需要满足以下条件：

3.3得出结果

通过数值方法求解上述方程组，得到不同 k 下的最优捕捞量，并分析结果以确定最优捕捞强度系数：

图一：捕捞强度系数对总捕捞量的影响

定义初始鱼群数量：1龄鱼数量10000条、2龄鱼数量8000条、3龄鱼数量 6000条、4龄鱼数量4000条。

代入模型求解：

最佳捕捞强度系数	最大年捕捞量
1.65	1029137.2520771623千克

模型评价与推广

在模型应用中，可以对不同地区和不同鱼种进行类似的建模，以实现可持续捕捞。未来可以结合实际数据进一步优化模型参数，提高预测精度。

代码展示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize

# 定义参数
r = 0.8  # 自然死亡率
m1, m2, m3, m4 = 51.07, 11.55, 17.86, 22.99  # 各年龄组鱼的平均质量（克）
f = 1000  # 捕捞总量（可调整）
k3, k4 = 0.42, 1.0  # 捕捞强度系数比例
egg_4 = 1.109e5  # 4龄鱼的产卵量
egg_3 = 0.5 * egg_4  # 3龄鱼的产卵量

# 定义初始鱼群数量
x1 = 10000  # 1龄鱼数量
x2 = 8000   # 2龄鱼数量
x3 = 6000   # 3龄鱼数量
x4 = 4000   # 4龄鱼数量

def survival_rate(eggs):
    """
    计算鱼卵的孵化率
    """
    return 1.22e11 / (1.22e11 + eggs)

def objective(k):
    """
    目标函数，计算总捕捞量
    """
    global x1, x2, x3, x4
    k3 = 0.42 * k  # 更新3龄鱼的捕捞强度系数
    k4 = k         # 更新4龄鱼的捕捞强度系数
    total_catch = 0
    
    for year in range(10):  # 模拟10年
        # 计算捕捞量
        catch3 = k3 * x3
        catch4 = k4 * x4
        total_catch += catch3 * m3 + catch4 * m4
        
        # 更新鱼群数量
        x3_next = x2 * survival_rate(egg_3 + egg_4) - catch3
        x4_next = x3 * survival_rate(egg_3 + egg_4) - catch4
        x2_next = x1 * survival_rate(egg_3 + egg_4)
        x1_next = x1 * np.exp(-r)
        
        x1, x2, x3, x4 = x1_next, x2_next, x3_next, x4_next
    
    return -total_catch  # 返回负的总捕捞量，因为优化器是最小化函数

# 生成不同捕捞强度系数下的捕捞量
k_values = np.linspace(0.1, 2.0, 20)  # 捕捞强度系数范围
catch_values = []

for k in k_values:
    x1, x2, x3, x4 = 10000, 8000, 6000, 4000  # 重置鱼群数量
    total_catch = -objective(k)  # 计算总捕捞量
    catch_values.append(total_catch)

# 绘制折线图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k_values, catch_values, marker='o', linestyle='-', color='b')
plt.title('捕捞强度系数对总捕捞量的影响')
plt.xlabel('捕捞强度系数 (k)')
plt.ylabel('总捕捞量')
plt.grid(True)
plt.show()

# 优化捕捞强度系数
result = minimize(objective, x0=1, bounds=[(0, None)])
optimal_k = result.x[0]

print(f"最佳捕捞强度系数: {optimal_k:.2f}")

# 计算最大年捕捞量
x1, x2, x3, x4 = 10000, 8000, 6000, 4000  # 重置鱼群数量
max_catch = -objective(optimal_k)
print(f"最大年捕捞量: {max_catch}")


egg_3 = 0.5 * egg_4  # 3龄鱼的产卵量

# 定义初始鱼群数量
x1 = 10000  # 1龄鱼数量
x2 = 8000   # 2龄鱼数量
x3 = 6000   # 3龄鱼数量
x4 = 4000   # 4龄鱼数量

def survival_rate(eggs):
    """
    计算鱼卵的孵化率
    """
    return 1.22e11 / (1.22e11 + eggs)

def objective(k):
    """
    目标函数，计算总捕捞量
    """
    global x1, x2, x3, x4
    k3 = 0.42 * k  # 更新3龄鱼的捕捞强度系数
    k4 = k         # 更新4龄鱼的捕捞强度系数
    total_catch = 0
    
    for year in range(10):  # 模拟10年
        # 计算捕捞量
        catch3 = k3 * x3
        catch4 = k4 * x4
        total_catch += catch3 * m3 + catch4 * m4
        
        # 更新鱼群数量
        x3_next = x2 * survival_rate(egg_3 + egg_4) - catch3
        x4_next = x3 * survival_rate(egg_3 + egg_4) - catch4
        x2_next = x1 * survival_rate(egg_3 + egg_4)
        x1_next = x1 * np.exp(-r)
        
        x1, x2, x3, x4 = x1_next, x2_next, x3_next, x4_next
    
    return -total_catch  # 返回负的总捕捞量，因为优化器是最小化函数

# 初始化数据
years = np.arange(1, 11)
optimal_ks = []
max_catches = []
total_catches = []

for year in years:
    # 计算最佳捕捞强度系数
    result = minimize(objective, x0=1, bounds=[(0, None)])
    optimal_k = result.x[0]
    optimal_ks.append(optimal_k)
    
    # 计算最大年捕捞量
    x1, x2, x3, x4 = 10000, 8000, 6000, 4000  # 重置鱼群数量
    max_catch = -objective(optimal_k)
    max_catches.append(max_catch)
    
    # 计算总捕捞量
    x1, x2, x3, x4 = 10000, 8000, 6000, 4000  # 重置鱼群数量
    total_catch = -objective(optimal_k)
    total_catches.append(total_catch)

# 绘制折线图
plt.figure(figsize=(14, 6))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(years, optimal_ks, marker='o', linestyle='-', color='b')
plt.title('未来10年的最佳捕捞强度系数')
plt.xlabel('年份')
plt.ylabel('最佳捕捞强度系数')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.plot(years, max_catches, marker='o', linestyle='-', color='r')
plt.title('未来10年的最大年捕捞量')
plt.xlabel('年份')
plt.ylabel('最大年捕捞量')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()