力扣链接：正则表达式匹配
题目描述：
给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。

‘.’ 匹配任意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s 的，而不是部分字符串。

解题思路

分析字符串

根据上面的示例，首先我们知道$s$只包含小写字母；$p$包含小写字母、‘.’ 和 ‘*’。
先考虑比较简单的情况，即$p$不包含’*'。

简单情况的判别

思路如下：

1. 判断$s$、$p$的长度是否一致。不一致的话，直接return False；一致的话，接着第二步。
2. 遍历访问$s$、$p$对应位置上的元素，判断是否相等。相等的话（包括$p[i]={}^{\prime }.{}^{\prime }$），继续比对；不相等，直接return False。

for i in range(n):
	if s[i]==p[i] or p[i] == '.':
		continue
	else:
		return False

复杂情况的判别——p含有’*’

1. $s=aab$, $p=aabc\ast$
   p中有$\ast$，$\ast$ 前面是c，所以该位置，c可以出现0次、1次或多次
   该case的返回应该是True，即c出现0次， $p=aab$ -> $s=p$
2. $s=aacdbf$, $p=aacdb\ast f$
   p中有$\ast$，$\ast$ 前面是b，所以该位置，b可以出现0次、1次或多次
   该case的返回应该是True，即b出现1次， $p=aacdbf$ -> $s=p$
3. $s=aacdbbf$, $p=aacdb\ast f$
   p中有$\ast$，$\ast$ 前面是b，所以该位置，b可以出现0次、1次或多次
   该case的返回应该是True，即b出现多次， $p=aacdbbf$ -> $s=p$

算法——动态规划

当p含有多个 $\ast$时，我们无法判别每次$\ast$出现时，它前面的那个字符需要出现几次，这种属于动态规划的范围，即都是可商量的。

动态规划——边界情况处理

1. 定义：
   $f[i][j]$：s[0: i-1]和p[0: j-1]的匹配情况。
   i，j代表的是长度（因为动态规划有个初始值，为了定义初始值一般会有这种错位的情况，即不能认为i，j是下标），所以对应下标就是i-1，j-1。
2. 初始化数组：
   f=[[False]*(n+1) for _ in range(m+1)]
   初始化边界情况：
   i=0，j=0，f[0][0] = True；
   i=0，j>0，存在f[0][j]= True的情况，需要处理
   i>0，j=0，不存在f[i][0]= True的情况，无需处理

		m=len(s)
        n=len(p)
        f=[[False]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        # 初始化f[0][0]
        f[0][0] = True
        # 初始化, s：没有字符，p有字符的匹配情况
        for j in range(1,n+1):
            if p[j-1] == '*': 
            # 只能匹配0次，查看是否有True的可能
            #【0次】匹配才能满足【p的变化结果】没有字符
                f[0][j] = f[0][j-2] # f[0][-1]=f[0][n]，不用担心越界

如$s=aab$, $p=aabc\ast$,

f[0][0]=True
# 因为 f=[[False]*(n+1) for _ in range(m+1)]
f[0][1]=False 
f[0][2]=False
f[0][3]=False
f[0][4]=False
# 可能True的，会进行动态规划转移
f[0][5]=f[0][3]=False

如果还没看明白，为什么遇到*号，有状态转移，请看下一个例子
如$s=aab$, $p=a\ast a\ast b\ast c\ast$,

f[0][0]=True
# 不满足if条件的默认是False，因为 f=[[False]*(n+1) for _ in range(m+1)]
# 可能True的，会进行动态规划转移
f[0][1]=False 
f[0][2]=f[0][0]=True
f[0][3]=False
f[0][4]=f[0][2]=True
f[0][5]=False
f[0][6]=f[0][4]=True
f[0][7]=True
f[0][8]=f[0][6]=True

动态规划——状态转移

p[j-1]不是$\ast$时，正常匹配。

if p[j-1]=='.' or s[i-1]==p[j-1]: # 该位置匹配上了，f[i][j]的情况由f[i-1][j-1]决定
   f[i][j] = f[i-1][j-1] 

p[j-1]是$\ast$:
如果$\ast$号前的字符和s[i-1]匹配上了，可能0次、1次或多次;
如果$\ast$号前的字符p[j-2]和s[i-1]没匹配上，只能0次，即舍弃p[j-2]、p[j-1]; (不用担心p[0]=‘*’，因为题目保证了*号前面有有效字符)

if s[i-1] != p[j-2] and p[j-2]!='.': # s[i-1],p[j-2]没匹配上，只能0次
     f[i][j]=f[i][j-2]
else: # 匹配上了，尝试0次、1次或多次，三者有一个满足True, f[i][j]就是True
     f[i][j] = f[i][j-2] | f[i-1][j]

0次: f[i][j] 转移到 f[i][j-2]
1次或多次： f[i][j] 转移到 f[i-1][j]，即删掉s[i-1], f[i][j] 的匹配情况由s[0:i-2]和p[0:j-1]的匹配情况（0次、1次或多次）决定。
比如s=‘aaaa’和p=’a*‘,
f[4][2]=f[3][2] # 由4次，转换为3次， 判断s=‘aaa’和p=’a*’
f[3][2]=f[2][2] # 由3次，转换为2次， 判断s=‘aa’和p=’a*’
f[2][2]=f[1][2] # 由2次，转换为1次， 判断s=‘a’和p=’a*’
f[1][2]=f[0][2] # 由1次，转换为0次， 判断s=‘‘和p=’a*’
f[0][2]=f[0][0] # 0次，0次 ， 判断s=‘‘和p=’’

解题代码

class Solution:
    def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
        m=len(s)
        n=len(p)
        f=[[False]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        # 初始化[0][0]
        f[0][0] = True
        # 初始化 '*' f[0][j],匹配0个
        for j in range(1,n+1):
            if p[j-1] == '*':
                f[0][j] = f[0][j-2] # f[0][-1]=f[0][n]，不用担心越界

        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if p[j-1]=='.' or s[i-1]==p[j-1]: # 小写字母匹配上 或 通用的
                    f[i][j] = f[i-1][j-1]
                elif p[j-1] == '*': # 可0次，1次，多次
                    if s[i-1] != p[j-2] and p[j-2]!='.': # s[i-1],p[j-2]没匹配上，只能0次
                        f[i][j]=f[i][j-2]
                    else: # 匹配上了，尝试0次、1次或多次，三者有一个满足True, f[i][j]就是True
                        f[i][j] = f[i][j-2] | f[i-1][j]
        return f[m][n]

复杂度

时间：$O(mn)$，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。我们需要计算出所有的状态，并且每个状态在进行转移时的时间复杂度为 O(1)。
空间：$O(mn)$，即为存储所有状态使用的空间。