行列式是什么-运算规则
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排列：不同的 n 元排列共有 n! 个
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逆序：小数排在大数后面，叫逆序；一个排列中逆序的总和叫做这个排列的逆序数，记为 τ ( j 1 , . . . , j n ) \tau(j_1,...,j_n) τ(j1,...,jn)
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逆序数的计算方法：
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奇排列和偶排列：逆序数为偶数的排列为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列
【举例】求排列 n(n-1) … 321 的逆序数
最终计算借助等差数列求和公式： S n = ( n ( a 1 + a n ) ) / 2 S_n=(n(a_1+a_n))/2 Sn=(n(a1+an))/2
【注🧨】 记住公式：
(
(
n
−
1
)
n
)
/
2
((n-1)n)/2
((n−1)n)/2
行列式的定义
- 行列式是一个 n 行 n 列的方阵
- 行列式的计算结果是一个数，称为行列式值
- 二阶和三阶行列式的计算遵循对角线法则，且对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式
- 三阶行列式的计算公式：①主对角线同方向的元素相加，减去副对角线同方向的元素，几阶同方向划线的元素就有几个
②加项的逆序数是偶数，减项的逆序数是奇数，列标是 j 1 , j 2 , j 3 j_1,j_2,j_3 j1,j2,j3 的某种排列组合（是看列标的逆序数），行标顺排 - n 阶行列式的计算：行标顺排，加项的逆序数是偶数，减项的逆序数是奇数，列标是 j 1 , j 2 , j 3 j_1,j_2,j_3 j1,j2,j3 的某种排列组合，取过的列不要取了，一共有 n! 项
【例题】
5 阶行列式 D 5 D_5 D5 展开式中有一项 a 15 a 52 a 44 a 31 a 23 a_{15}a_{52}a_{44}a_{31}a_{23} a15a52a44a31a23，此项的符号为：负号，逆序数为 7
【题型🔴】问几次方的系数和常数项
系数：从行开始，从 a 11 a_{11} a11 开始， a 11 a_{11} a11 所在行列元素不看，看剩下元素与 a 11 a_{11} a11 相乘是否能得到题设的次方项，能得到写出元素顺序，并乘以（-1）的列表的逆序数次方
常数项：常数项其实是当所有的未知数地方都得 0，计算行列式的结果
真题：2021 数三 15 题
行列式的性质
- 行列式的行与列（按原顺序）互换（转置），行列式的值不变
- 行列式的两行（列）互换，行列式的值反号（添负号）–（对换）
- 【推论：】如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零
- 行列式的某行（列）每个元素都乘常数 k，则等于用 k 乘此行列式的值–（提公因子）
- 【推论：】
- 若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式的值为零
- 若行列式中某行（列）有公因子 k，则可将 k 提到行列式外
- 若行列式中两行（列）对应元素成比例，其值为零
- 如果行列式某行（列）元素都写成两数之和，则该行列式可以写成两个行列式之和–（行列式的拆分）
⭐5. 将行列式的某行（列）的每个元素都乘常数 k，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变 --（恒等变形【倍加】）符号表示：
r
j
+
k
r
i
r_j+kr_i
rj+kri，被操作行/列写在前面，只动第 j 行（固定写法）
【应用】适用于任何 n 阶行列式化三角形
⭐拉普拉斯公式（分块三角行列式）
- C 不一定是方阵也可以使用拉普拉斯公式
行列式按行/列展开定理
- 余子式和代数余子式
【注】
- 余子式和代数余子式都是行列式，结果都是一个数值
- 余子式和代数余子式值与 a i j a_{ij} aij 的具体取值无关，只与 a i j a_{ij} aij 的位置有关
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余子式 M i j M_{ij} Mij：在 n 阶行列式中，把元素 a i j a_{ij} aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，由剩余的元素按原位置顺序所构成的 n-1 阶行列式，称为元素 a i j a_{ij} aij 的余子式，记作 M i j M_{ij} Mij
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代数余子式 A i j A_{ij} Aij： ( − 1 ) i + j M i j (-1)^{i+j}M_{ij} (−1)i+jMij 称为元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式，记为 A i j A_{ij} Aij，即 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij
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应用：行列式计算
- 行列式按行/列展开定理（目的：降阶）
【定理】：行列式的值等于其任一行/列的各元素与其对应代数余子式的乘积之和
【适用】：选 0 多的行/列展开，0 不够多，就先化零，然后再展开
按行还是按列，看哪个不动，另一个递增
行列式的计算
常见行列式计算
计算行列式的常见题型和方法
- 化零降解法 （坚守原则：“打洞”，“降阶”）
【方法】：先利用性质将行列式的某一行或某一列化到只有一个元素不为 0，再用行列式展开定理化为低一阶的行列式（化零降阶法是计算行列式的主要方法）
【题型🔴】一点两斜—方法：按“.”所在行/列展开
【例题】
⭐2. 化三角形行列式
⭐⭐【类型 1】各行/列元素之和相等的行列式（各行全部加到第一行/列）
【例题】
【固定解题流程】
①各行加至第一行
②提公因子
③各行减第一行
r
1
r_1
r1，化三角形
【类型 2】爪型行列式（各行倍加到第一行，“消去平爪”）
【例题】
【固定解题流程】第二个非零，用第二行乘一个倍数加到第一行，第三个非零用第三行…，依此类推，第一个元素承受所有
【类型 3】三对角行列式（逐行相减，化三角行列式）–主/副对角线有非零元，最近的平行线有非零元，其余部分均为 0
常见方法有：化三角形（低阶）、递推法（n 阶）、数学归纳法（n 阶）
【例题】
【方法】递推法
#todo待补充
【方法】数学归纳法
数学归纳法是证明（计算）行列式常用的方法，首先建立递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时 D n = 2 D n − 1 + 1 D_n=2D_{n-1}+1 Dn=2Dn−1+1，采用第一归纳法；当递推关系涉及相邻三阶行列式时 D n = 2 D n − 1 − D n − 2 D_n=2D_{n-1}-D_{n-2} Dn=2Dn−1−Dn−2，采用第二归纳法
第一数学归纳法
①设有一个与自然数 n 有关的命题，若当 n=1 时命题成立（
D
1
D_1
D1）
②假设当 n=k 时命题成立，可以推出当
n
=
k
+
1
n=k+1
n=k+1 时命题成立
那么命题对一切自然数 n 都成立
第二数学归纳法
设有一个与自然数 n 有关的命题，若
①当 n=1 和 n=2 时命题成立
②假设对
n
<
k
n<k
n<k 的一切自然数都成立，则 n=k 时命题也成立
那么命题对一切自然数 n 都成立
⭐【类型 4】范德蒙行列式
后减前
【识别】范德蒙行列式特点
1）第一行全为 1
2）第二行随便写
3）第三行往下的行依次升幂排列 （2，3 总结：构成一个以
x
i
x_i
xi 为公比的等比数列）
【应用】例题：
- 将最后一行换到第一行，其他行顺序不变，方法：逐行对换，注意负号（最后一行 n，然后 n-1, 然后 n-2 直到第一行）
- 此时新行列式的值 ( − 1 ) n − 1 D n (-1)^{n-1}D_n (−1)n−1Dn，与原行列式的值 D n D_n Dn，注意符号
行列式按行/列展开定理的推论
⭐【原行列式将第 i 行元素替换为系数 x i x_i xi 之后，计算得到的新行列式】–直接作为套路
按照第几行展开，直接将第几行的数换成代数余子式的系数，进行计算，看第几行的时候直接看代数余子式的行标 A 即可
【例题】
行列式的应用-克拉默法则
- 方程组解，在第四章学习
