如何实现一棵AVL树

1.什么是AVL树？

2.AVL树的实现

2.1AVL树结点的定义

2.2AVL树的插入

2.2.1插入的步骤

2.2.2插入情况分析

2.2.3旋转操作的分析

2.3AVL树的查找

3.AVL树的验证

4.AVL树的性能分析

1.什么是AVL树？

AVL树其实就是一棵加了限制条件的二叉搜索树。由于二叉搜索树在插入元素为有序or接近有序的情况下，会退化成单支树，查找元素的时间复杂度变成了O(N)，相当于在在顺序表中进行查找，那么树形结构的优势就完全体现不出来了，伟大的计算机前辈觉不允许这种事情发生，于是两位俄罗斯的数学家就发明了AVL树；要想不让二叉搜索树退化成单支树，这两位数学家的想法是 保证每棵树及其子树的左右子树高度差的绝对值不超过1。当左右子树高度差的绝对值超过1，就需要调整了。

所以，AVL树具有以下性质：

1.左右子树的高度差的绝对值不超过1；
2.左右子树都是AVL树；
3.空树也算是AVL树。

满足以上性质的树，能达到一种相对平衡的状态，所以AVL树也是一棵平衡二叉搜索树。

为什么是左右高度差不超过1，不超过0不是更加平衡吗？有些条件下是无法做到左右子树高度差不超过0的，不超过1就是最好的状态。

2.AVL树的实现

数据结构的实现，一般只需实现其增、删、查、改；但AVL树也是一棵二叉搜索树，是不允许修改的，所以我们重点实现其插入操作。

2.1AVL树结点的定义

AVL树的结点可以像下面这样定义：

_left指向左孩子。
_right指向右孩子。
_parent指向父亲。
_bf是平衡因子，用来记录左右子树的高度差。（平衡因子并不是必须的，但是我们采用平衡因子的方式帮助我们控制树的结构）
_kv是存储的数据，用一个键值对来存储。

2.2AVL树的插入

2.2.1插入的步骤

AVL树的插入主要分为如下两步

1.按二叉搜索树的规则插入；比当前结点大，就去右边插入，比当前节点小，就去左边插入。
2.更新平衡因子；插入节点后，必然有树的平衡因子会变化，平衡因子一旦不满足AVL树的性质，就需要调整了。（调整规则为在父结点的左边插入，父结点的平衡因子减1，在父结点的右边插入，父结点的平衡因子加1；如果更新后，父结点的父结点受到影响，还需要向上继续更新平衡因子）

插入节点会影响哪些节点的平衡因子呢？

如果在65的左边插入结点，65的平衡因子会发生变化，60的平衡因子也会发生变化，82的平衡因子也会发生变化，58的平衡因子也会发生变化。
如果在83的左边插入结点，83的平衡因子会发生变化，82的平衡因子会发生变化
所以插入结点会影响新增结点的部分祖先。

2.2.2插入情况分析

（注：下面的讲解用c代表新增结点，用p代表新增结点的父结点，pp代表父结点的父结点）

二叉树插入结点之后，树的形状有很多，但是大致可以划分成三种情况：p->_bf == 0，p->_bf == 1/-1，p->_bf == 2/-2。

当插入结点后，p->_bf == 0，说明更新之前 p->_bf == 1/-1，在p的矮的那边插入了结点，p子树变得均衡了，p的高度不变，不会影响pp结点；更新结束。
当插入结点后，p->_bf == 1/-1，说明更新之前 p->_bf == 0，在p的一边插入，p变得不均衡了，但是不违反规则，p的高度变了，可能会影响pp结点，需要继续往上更新。(更新之前p的平衡因子不可能是2/-2，因为AVL树的规则不允许出现这种情况，一旦出现平衡因子是2/-2的场景就需要调整)
当插入结点后，p->_bf == 2/-2，说明p所在的子树违反了AVL树的规则，需要旋转处理；旋转处理是将不平衡的AVL树变得平衡的一种手段，让p所在子树的高度回到了插入之前，不会对上层的平衡因子产生影响。

代码如下（旋转逻辑后面有详细代码示例）：

    bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)  // 注意在空树中插入的情况
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)        // 往上更新到cur为空才结束
		{
			if (cur->kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false; // 如果存在就不需要插入了
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
            cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
            cur->_parent = parent;
		} // 判断新增的结点在父节点的哪一边插入

		while (parent)
		{
			if(cur == parent->left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			} //调节平衡因子
            
            // 判断要不要继续往上调整
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转处理，让不平衡的二叉搜索树变得平衡。
			}
		}

		return true;
	}

2.2.3旋转操作的分析

我们之所以要进行旋转操作，是因为当前的子树出现了左右子树高度差为2/-2的情况，不满足AVL树的规则；所以我们需要降低当前树的高度，使当前这棵不平衡的子树变成平衡的子树。让p所在的子树的高度回到了插入之前，因此不会对上层子树的平衡因子产生影响。

二叉树的插入情况比较复杂，但是大致可以划分成 左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋。我们只需要分清出，什么情况下，使用哪一种旋转方式即可。

左单旋：当p所在的子树的平衡因子为2，且c是p的右孩子，c所在的子树的平衡因子为1，此时就可以使用左单旋降低p所在子树的高度。如下图所示：
右单旋：当p所在的子树的平衡因子为-2，且c是p的左孩子，c所在的子树的平衡因子为-1，此时就可以使用右单旋降低p所在子树的高度。如下图所示：
左右双旋：当p所在的子树的平衡因子为-2，且c是p的左孩子，c所在的子树的平衡因子为1，此时就可以先对c所在的子树进行左单旋，再对p所在的子树进行右单旋。如下图所示：
右左双旋：当p所在的子树的平衡因子为2，且c是p的右孩子，c所在的子树的平衡因子为-1，此时就可以先对c所在的子树进行右单旋，再对p所在的子树进行左单旋。如下图所示：

旋转之后，平衡因子是怎么变化的呢？读者可以自己画画图，就可以总结出规律了；

左单旋和右单旋都是让原来的p和c所在的子树的平衡因子变为0。
左右双旋之后，平衡因子的变化比较复杂，但是可以根据原来c的右孩子的平衡因子的大小来划分情况，如下图所示：
右左双旋之后，平衡因子的变化可以根据原来c的左孩子的平衡因子的大小来划分情况，如下图所示：

2.3AVL树的查找

在AVL树中查找一个结点，就相当于在二叉搜索树中查找一个结点，找到了就返回该结点的地址，没找到就返回空指针，代码如下：

    Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return NULL;
	}

3.AVL树的验证

当我们实现了一棵简单的AVL树之后，该如何检测该AVL树实现的是否正确呢？

验证是否是合格的AVL树分为两步 1.验证其是否是二叉搜索树，可以通过中序遍历，看其数据是否是升序判断。2.验证其是否符合AVL树的性质，我们不能通过检测所有子树的平衡因子来判断，因为，我们不敢百分之百保证平衡因子的更新是正确的，只能求出每个子树的左右高度差来判断。代码如下：

    bool _IsBalance(Node* root, int& height)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			height = 0;
			return true;
		}

		int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
		if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight) 
			|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
		{
			return false;
		}

		if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
		{
			cout <<root->_kv.first<<"不平衡" << endl;
			return false;
		}

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first <<"平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

		return true;
	}

	bool IsBalance()
	{
		int height = 0;
		return _IsBalance(_root, height);
	}

4.AVL树的性能分析

AVL树是对二叉搜索树的优化升级，很好的克服了二叉搜索树在插入数据的顺序为有序 or 接近有序时退化成单支树的问题，保证了查询的时间复杂度为O(log_N)，但是其代价就是通过更多的旋转来控制；如果要对AVL树做一些结构上的修改操作，修改操作很有可能会改变子树的平衡因子，从而引发旋转，如果是删除操作的话，可能要旋转到根的位置，效率低下。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

基于AVL树的缺点，有大佬发明了另一种平衡二叉搜索树 —— AVL树，我们后面讲解。