ST 表
ST 表，主要思想是空间换时间，用于解决可重复贡献问题和 RMQ 问题。
可重复贡献问题
指某个运算 o p op op，有 x o p x = x x\ op\ x\ =\ x x op x = x 。例如 m a x ( x , x ) = x m i n ( x , x ) = x g c d ( x , x ) = x max(x,x)=x\ \ min(x,x)=x\ \ gcd(x,x)=x max(x,x)=x min(x,x)=x gcd(x,x)=x。
RMQ 问题
指在区间内的最大/最小值查询。
ST 表
ST 表基于倍增的思想，做到 O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn) 的预处理时间， O ( 1 ) O(1) O(1) 的查询时间。副作用是不支持修改操作。
而 ST 表的实现类似于 dp，设 f i , j f_{i,j} fi,j 表示区间 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j−1] 的最大值。
而显然 f i , 0 = a i f_{i,0}=a_i fi,0=ai。
为什么是 i + 2 j − 1 i+2^j-1 i+2j−1 而不是 i + 2 j i+2^j i+2j 呢？
因为很巧，如果 j = 0 j=0 j=0，则 2 0 = 1 2^0=1 20=1，得再减个一。
那么第二维的意思也就是在倍增的时候，调了 2 j − 1 2^j-1 2j−1 步。
那么状态转移方程：
f
i
,
j
=
m
a
x
(
f
i
,
j
−
1
,
f
i
+
2
j
−
1
,
j
−
1
)
f_{i,j}=max(f_{i,j-1},f_{i+2_{j-1},j-1})
fi,j=max(fi,j−1,fi+2j−1,j−1)
可以基于下面这张图（神图）来理解。
对于每个询问 [ l , r ] [l,r] [l,r]，可以分成两部分，分别是 [ l , l + 2 s − 1 ] , [ r − 2 s + 1 , r ] [l,l+2^s-1],[r-2^s+1,r] [l,l+2s−1],[r−2s+1,r]。
而 s = l o g 2 r − l + 1 s=log_2^{r-l+1} s=log2r−l+1。
模板代码
例题：P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,logn=21;
int n,m,f[N][logn],Log[N],x,y,s;
inline void init()
{
Log[1]=0;
Log[2]=1;
for(int i=3;i<N;i++)
Log[i]=Log[i/2]+1;
for(int j=1;j<=logn;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
return;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&f[i][0]);
init();
while(m--)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
s=Log[y-x+1];
printf("%d\n",max(f[x][s],f[y-(1<<s)+1][s]));
}
return 0;
}
