线段树的原理

news2024/9/25 15:28:54

1.如果知道两个子范围上的最值，通过比较就可以知道整个范围上的最值

2.如果知道两个子范围上分别出现的次数最多的数，但无法知道整个范围上出现最多的数

范围修改logn的前提：如果维护的是区域和，要把区域上的每个数字加上a，只需要知道区域中数字的个数乘以a加到原数字和上就可以得到新的和，时间复杂度为O(1)，那么这样的修改复杂度就是logn；如果是将区域上的每个数数位上的数字都倒置得到新的数字，那么这样是无法直接得到新的累加和的，这样的修改操作就不是logn

 

 

  P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

范围查询，范围修改

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;

public class Main {

	public static int MAXN = 100001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] sum = new long[MAXN << 2];

	public static long[] add = new long[MAXN << 2];

	// 累加和信息的汇总
	public static void up(int i) {
		// 父范围的累加和 = 左范围累加和 + 右范围累加和
		sum[i] = sum[i << 1] + sum[i << 1 | 1];
	}

	// 懒信息的下发
	public static void down(int i, int ln, int rn) {
		if (add[i] != 0) {
			// 发左
			lazy(i << 1, add[i], ln);
			// 发右
			lazy(i << 1 | 1, add[i], rn);
			// 父范围懒信息清空
			add[i] = 0;
		}
	}

	// 当前来到l~r范围，对应的信息下标是i，范围上数字的个数是n = r-l+1
	// 现在收到一个懒更新任务 : l~r范围上每个数字增加v
	// 这个懒更新任务有可能是任务范围把当前线段树范围全覆盖导致的
	// 也有可能是父范围的懒信息下发下来的
	// 总之把线段树当前范围的sum数组和add数组调整好
	// 就不再继续往下下发了，懒住了
	public static void lazy(int i, long v, int n) {
		sum[i] += v * n;
		add[i] += v;
	}

	// 建树
	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			sum[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		add[i] = 0;
	}

	// 范围修改
	// jobl ~ jobr范围上每个数字增加jobv
	public static void add(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			lazy(i, jobv, r - l + 1);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i, mid - l + 1, r - mid);
			if (jobl <= mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	// 查询累加和
	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return sum[i];
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		down(i, mid - l + 1, r - mid);
		long ans = 0;
		if (jobl <= mid) {
			ans += query(jobl, jobr, l, mid, i << 1);
		}
		if (jobr > mid) {
			ans += query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1);
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);
		PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
		in.nextToken(); int n = (int) in.nval;
		in.nextToken(); int m = (int) in.nval;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			in.nextToken();
			arr[i] = (long) in.nval;
		}
		build(1, n, 1);
		long jobv;
		for (int i = 1, op, jobl, jobr; i <= m; i++) {
			in.nextToken();
			op = (int) in.nval;
			if (op == 1) {
				in.nextToken(); jobl = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobr = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobv = (long) in.nval;
				add(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
			} else {
				in.nextToken(); jobl = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobr = (int) in.nval;
				out.println(query(jobl, jobr, 1, n, 1));
			}
		}
		out.flush();
		out.close();
		br.close();
	}

}

范围查询，单点修改

public class Code02_SegmentTreeUpdateQuerySum {

	public static int MAXN = 100001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] sum = new long[MAXN << 2];

	public static long[] change = new long[MAXN << 2];

	public static boolean[] update = new boolean[MAXN << 2];

	public static void up(int i) {
		sum[i] = sum[i << 1] + sum[i << 1 | 1];
	}

	public static void down(int i, int ln, int rn) {
		if (update[i]) {
			lazy(i << 1, change[i], ln);
			lazy(i << 1 | 1, change[i], rn);
			update[i] = false;
		}
	}

	public static void lazy(int i, long v, int n) {
		sum[i] = v * n;
		change[i] = v;
		update[i] = true;
	}

	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			sum[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		change[i] = 0;
		update[i] = false;
	}

	public static void update(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			lazy(i, jobv, r - l + 1);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i, mid - l + 1, r - mid);
			if (jobl <= mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return sum[i];
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		down(i, mid - l + 1, r - mid);
		long ans = 0;
		if (jobl <= mid) {
			ans += query(jobl, jobr, l, mid, i << 1);
		}
		if (jobr > mid) {
			ans += query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1);
		}
		return ans;
	}

	// 对数器逻辑
	// 展示了线段树的建立和使用
	// 使用验证结构来检查线段树是否正常工作
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("测试开始");
		int n = 1000;
		int v = 2000;
		int t = 5000000;
		// 生成随机值填入arr数组
		randomArray(n, v);
		// 建立线段树
		build(1, n, 1);
		// 生成验证的结构
		long[] check = new long[n + 1];
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			check[i] = arr[i];
		}
		for (int i = 1; i <= t; i++) {
			// 生成操作类型
			// op = 0 更新操作
			// op = 1 查询操作
			int op = (int) (Math.random() * 2);
			// 下标从1开始，不从0开始，生成两个随机下标
			int a = (int) (Math.random() * n) + 1;
			int b = (int) (Math.random() * n) + 1;
			// 确保jobl <= jobr
			int jobl = Math.min(a, b);
			int jobr = Math.max(a, b);
			if (op == 0) {
				// 更新操作
				// 线段树、验证结构同步更新
				int jobv = (int) (Math.random() * v * 2) - v;
				update(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
				checkUpdate(check, jobl, jobr, jobv);
			} else {
				// 查询操作
				// 线段树、验证结构同步查询
				// 比对答案
				long ans1 = query(jobl, jobr, 1, n, 1);
				long ans2 = checkQuery(check, jobl, jobr);
				if (ans1 != ans2) {
					System.out.println("出错了!");
				}
			}
		}
		System.out.println("测试结束");
	}

 

 

public class Code03_SegmentTreeAddQueryMax {

	public static int MAXN = 100001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] max = new long[MAXN << 2];

	public static long[] add = new long[MAXN << 2];

	public static void up(int i) {
		max[i] = Math.max(max[i << 1], max[i << 1 | 1]);
	}

	public static void down(int i) {
		if (add[i] != 0) {
			lazy(i << 1, add[i]);
			lazy(i << 1 | 1, add[i]);
			add[i] = 0;
		}
	}

	public static void lazy(int i, long v) {
		max[i] += v;
		add[i] += v;
	}

	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			max[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		add[i] = 0;
	}

	public static void add(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			lazy(i, jobv);
		} else {
			down(i);
			int mid = (l + r) >> 1;
			if (jobl <= mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return max[i];
		}
		down(i);
		int mid = (l + r) >> 1;
		long ans = Long.MIN_VALUE;
		if (jobl <= mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, l, mid, i << 1));
		}
		if (jobr > mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1));
		}
		return ans;
	}

	// 对数器逻辑
	// 展示了线段树的建立和使用
	// 使用验证结构来检查线段树是否正常工作
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("测试开始");
		int n = 1000;
		int v = 2000;
		int t = 5000000;
		// 生成随机值填入arr数组
		randomArray(n, v);
		// 建立线段树
		build(1, n, 1);
		// 生成验证的结构
		long[] check = new long[n + 1];
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			check[i] = arr[i];
		}
		for (int i = 1; i <= t; i++) {
			// 生成操作类型
			// op = 0 增加操作
			// op = 1 查询操作
			int op = (int) (Math.random() * 2);
			// 下标从1开始，不从0开始，生成两个随机下标
			int a = (int) (Math.random() * n) + 1;
			int b = (int) (Math.random() * n) + 1;
			// 确保jobl <= jobr
			int jobl = Math.min(a, b);
			int jobr = Math.max(a, b);
			if (op == 0) {
				// 增加操作
				// 线段树、验证结构同步增加
				int jobv = (int) (Math.random() * v * 2) - v;
				add(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
				checkAdd(check, jobl, jobr, jobv);
			} else {
				// 查询操作
				// 线段树、验证结构同步查询
				// 比对答案
				long ans1 = query(jobl, jobr, 1, n, 1);
				long ans2 = checkQuery(check, jobl, jobr);
				if (ans1 != ans2) {
					System.out.println("出错了!");
				}
			}
		}
		System.out.println("测试结束");
	}

 

public class Code04_SegmentTreeUpdateQueryMax {

	public static int MAXN = 100001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] max = new long[MAXN << 2];

	public static long[] change = new long[MAXN << 2];

	public static boolean[] update = new boolean[MAXN << 2];

	public static void up(int i) {
		max[i] = Math.max(max[i << 1], max[i << 1 | 1]);
	}

	public static void down(int i) {
		if (update[i]) {
			lazy(i << 1, change[i]);
			lazy(i << 1 | 1, change[i]);
			update[i] = false;
		}
	}

	public static void lazy(int i, long v) {
		max[i] = v;
		change[i] = v;
		update[i] = true;
	}

	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			max[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		change[i] = 0;
		update[i] = false;
	}

	public static void update(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			lazy(i, jobv);
		} else {
			down(i);
			int mid = (l + r) >> 1;
			if (jobl <= mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return max[i];
		}
		down(i);
		int mid = (l + r) >> 1;
		long ans = Long.MIN_VALUE;
		if (jobl <= mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, l, mid, i << 1));
		}
		if (jobr > mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1));
		}
		return ans;
	}

	// 对数器逻辑
	// 展示了线段树的建立和使用
	// 使用验证结构来检查线段树是否正常工作
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("测试开始");
		int n = 1000;
		int v = 2000;
		int t = 5000000;
		// 生成随机值填入arr数组
		randomArray(n, v);
		// 建立线段树
		build(1, n, 1);
		// 生成验证的结构
		long[] check = new long[n + 1];
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			check[i] = arr[i];
		}
		for (int i = 1; i <= t; i++) {
			// 生成操作类型
			// op = 0 更新操作
			// op = 1 查询操作
			int op = (int) (Math.random() * 2);
			// 下标从1开始，不从0开始，生成两个随机下标
			int a = (int) (Math.random() * n) + 1;
			int b = (int) (Math.random() * n) + 1;
			// 确保jobl <= jobr
			int jobl = Math.min(a, b);
			int jobr = Math.max(a, b);
			if (op == 0) {
				// 更新操作
				// 线段树、验证结构同步更新
				int jobv = (int) (Math.random() * v * 2) - v;
				update(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
				checkUpdate(check, jobl, jobr, jobv);
			} else {
				// 查询操作
				// 线段树、验证结构同步查询
				// 比对答案
				long ans1 = query(jobl, jobr, 1, n, 1);
				long ans2 = checkQuery(check, jobl, jobr);
				if (ans1 != ans2) {
					System.out.println("出错了!");
				}
			}
		}
		System.out.println("测试结束");
	}

 

 

 

 

 1.lazy：如果来的是add操作，那么就在之前update操作上继续加即可，update操作不需要改变；如果是update操作，那么之前的add操作就相当于没发生过，所以add数组置为0；

2.如果父节点既有add信息又有update信息，我们知道，如果有update操作，就会把add信息取消，所以update信息一定早于add信息，所以先传递update信息，在传递add信息

public class Code05_SegmentTreeUpdateAddQuerySum {

	public static int MAXN = 1000001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] sum = new long[MAXN << 2];

	public static long[] add = new long[MAXN << 2];

	public static long[] change = new long[MAXN << 2];

	public static boolean[] update = new boolean[MAXN << 2];

	public static void up(int i) {
		sum[i] = sum[i << 1] + sum[i << 1 | 1];
	}

	public static void down(int i, int ln, int rn) {
		if (update[i]) {
			updateLazy(i << 1, change[i], ln);
			updateLazy(i << 1 | 1, change[i], rn);
			update[i] = false;
		}
		if (add[i] != 0) {
			addLazy(i << 1, add[i], ln);
			addLazy(i << 1 | 1, add[i], rn);
			add[i] = 0;
		}
	}

	public static void updateLazy(int i, long v, int n) {
		sum[i] = v * n;
		add[i] = 0;
		change[i] = v;
		update[i] = true;
	}

	public static void addLazy(int i, long v, int n) {
		sum[i] += v * n;
		add[i] += v;
	}

	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			sum[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		add[i] = 0;
		change[i] = 0;
		update[i] = false;
	}

	public static void update(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			updateLazy(i, jobv, r - l + 1);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i, mid - l + 1, r - mid);
			if (jobl <= mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static void add(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			addLazy(i, jobv, r - l + 1);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i, mid - l + 1, r - mid);
			if (jobl <= mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return sum[i];
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		down(i, mid - l + 1, r - mid);
		long ans = 0;
		if (jobl <= mid) {
			ans += query(jobl, jobr, l, mid, i << 1);
		}
		if (jobr > mid) {
			ans += query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1);
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("测试开始");
		int n = 1000;
		int v = 2000;
		int t = 5000000;
		// 生成随机值填入arr数组
		randomArray(n, v);
		// 建立线段树
		build(1, n, 1);
		// 生成验证的结构
		long[] check = new long[n + 1];
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			check[i] = arr[i];
		}
		for (int i = 1; i <= t; i++) {
			// 生成操作类型
			// op = 0 增加操作
			// op = 1 更新操作
			// op = 2 查询操作
			int op = (int) (Math.random() * 3);
			// 下标从1开始，不从0开始，生成两个随机下标
			int a = (int) (Math.random() * n) + 1;
			int b = (int) (Math.random() * n) + 1;
			// 确保jobl <= jobr
			int jobl = Math.min(a, b);
			int jobr = Math.max(a, b);
			if (op == 0) {
				// 增加操作
				// 线段树、验证结构同步增加
				int jobv = (int) (Math.random() * v * 2) - v;
				add(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
				checkAdd(check, jobl, jobr, jobv);
			} else if (op == 1) {
				// 更新操作
				// 线段树、验证结构同步更新
				int jobv = (int) (Math.random() * v * 2) - v;
				update(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
				checkUpdate(check, jobl, jobr, jobv);
			} else {
				// 查询操作
				// 线段树、验证结构同步查询
				// 比对答案
				long ans1 = query(jobl, jobr, 1, n, 1);
				long ans2 = checkQuery(check, jobl, jobr);
				if (ans1 != ans2) {
					System.out.println("出错了!");
				}
			}
		}
		System.out.println("测试结束");
	}

P1253 扶苏的问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;

public class Main {

	public static int MAXN = 1000001;

	public static long[] arr = new long[MAXN];

	public static long[] max = new long[MAXN << 2];

	public static long[] add = new long[MAXN << 2];

	public static long[] change = new long[MAXN << 2];

	public static boolean[] update = new boolean[MAXN << 2];

	public static void up(int i) {
		max[i] = Math.max(max[i << 1], max[i << 1 | 1]);
	}

	public static void down(int i) {
		if (update[i]) {
			updateLazy(i << 1, change[i]);
			updateLazy(i << 1 | 1, change[i]);
			update[i] = false;
		}
		if (add[i] != 0) {
			addLazy(i << 1, add[i]);
			addLazy(i << 1 | 1, add[i]);
			add[i] = 0;
		}
	}

	public static void updateLazy(int i, long v) {
		max[i] = v;
		add[i] = 0;
		change[i] = v;
		update[i] = true;
	}

	public static void addLazy(int i, long v) {
		max[i] += v;
		add[i] += v;
	}

	public static void build(int l, int r, int i) {
		if (l == r) {
			max[i] = arr[l];
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			build(l, mid, i << 1);
			build(mid + 1, r, i << 1 | 1);
			up(i);
		}
		add[i] = 0;
		change[i] = 0;
		update[i] = false;
	}

	public static void update(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			updateLazy(i, jobv);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i);
			if (jobl <= mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				update(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static void add(int jobl, int jobr, long jobv, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			addLazy(i, jobv);
		} else {
			int mid = (l + r) >> 1;
			down(i);
			if (jobl <= mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, l, mid, i << 1);
			}
			if (jobr > mid) {
				add(jobl, jobr, jobv, mid + 1, r, i << 1 | 1);
			}
			up(i);
		}
	}

	public static long query(int jobl, int jobr, int l, int r, int i) {
		if (jobl <= l && r <= jobr) {
			return max[i];
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		down(i);
		long ans = Long.MIN_VALUE;
		if (jobl <= mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, l, mid, i << 1));
		}
		if (jobr > mid) {
			ans = Math.max(ans, query(jobl, jobr, mid + 1, r, i << 1 | 1));
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);
		PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
		in.nextToken(); int n = (int) in.nval;
		in.nextToken(); int m = (int) in.nval;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			in.nextToken();
			arr[i] = (long) in.nval;
		}
		build(1, n, 1);
		long jobv;
		for (int i = 1, op, jobl, jobr; i <= m; i++) {
			in.nextToken();
			op = (int) in.nval;
			if (op == 1) {
				in.nextToken(); jobl = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobr = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobv = (long) in.nval;
				update(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
			} else if (op == 2) {
				in.nextToken(); jobl = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobr = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobv = (long) in.nval;
				add(jobl, jobr, jobv, 1, n, 1);
			} else {
				in.nextToken(); jobl = (int) in.nval;
				in.nextToken(); jobr = (int) in.nval;
				out.println(query(jobl, jobr, 1, n, 1));
			}
		}
		out.flush();
		out.close();
		br.close();
	}

}

 

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