1. 线性方程组的解法
由于这个视频课的分p十分抽象，我还是把一节完整的课学完再发表笔记吧，要不然太零碎了。
接上一篇文章
阶梯形方程组为
{
x
1
−
x
2
=
2
x
3
=
−
1
0
=
0
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{3}=-1 \\ 0=0 \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x1−x2=2x3=−10=0
x
2
x_{2}
x2可以取无穷多个有理数
所以阶梯形方程组有无穷多个解，从而原方程组有无穷多个解。其中
x
2
x_{2}
x2是自由未知量（主变量以外的未知量），可以取任意的数，
x
1
.
x
3
x_{1}.x_{3}
x1.x3是主变量（以主元为系数的未知量），将自由未知量放到右侧，即
{
x
1
=
x
2
+
2
x
3
=
−
1
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=x_{2}+2 \\ x_{3}=-1 \\ \end{array}\right.
{x1=x2+2x3=−1称为原方程组的一般解。
1.4 线性方程组解的情况及其判别准则
在有理数集（或实数集，或复数集）内， n n n元线性方程组的解的情况有且只有三种可能：无解、有唯一解和有无穷多个解。
把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形，相应的阶梯形方程组如果出现“ 0 = d 0=d 0=d”（其中 d d d是非零数）这样的方程，那么原方程组无解。否则原方程组有解。有解时，若阶梯形矩阵的非零行的数目 r = n r=n r=n（ n n n为未知量数目），则原方程组有唯一解；若 r < n r<n r<n，则原方程组有无穷多个解。
【证】
n
n
n元线性方程组经过初等行变换化成阶梯形
J
\textbf{J}
J，设
J
\textbf{J}
J有
r
r
r个非零行，显然
J
\textbf{J}
J有
n
+
1
n+1
n+1列（未知数
n
n
n列，再加上最后的常数项列），
情形一：显然，出现“
0
=
d
0=d
0=d”（其中
d
d
d是非零数）这样的方程，则原方程组无解。
情形二：由于不出现“
0
=
d
0=d
0=d”（其中
d
d
d是非零数）这样的方程，
J
\textbf{J}
J的第
r
r
r行的主元
b
r
t
b_{rt}
brt不能位于第
n
+
1
n+1
n+1列（不出现常数项那列单独有非0元素，其他列都是0的行），因此
t
≤
n
t\le n
t≤n，又有
t
≥
r
t\ge r
t≥r（主元的位置在第
r
r
r行第
t
t
t列，
t
t
t可以是
r
r
r相等（落在系数矩阵的对角线上），也可以是
t
>
r
t>r
t>r（落在对角线右侧）），从而
r
≤
n
r\le n
r≤n
【注】这就证明了，阶梯形矩阵的非0行的行数
r
r
r不可能超过未知量的数目（
r
≤
n
r\le n
r≤n）。
情形2.1：
r
=
n
r=n
r=n
阶梯形矩阵
J
\textbf{J}
J经过初等行变换化成简化的行阶梯形矩阵
J
1
\textbf{J}_{1}
J1，
J
1
\textbf{J}_{1}
J1也有
r
r
r个非0行，从而
J
1
\textbf{J}_{1}
J1有
r
r
r个主元。
J
1
=
(
1
0
.
.
.
0
c
1
0
1
.
.
.
0
c
2
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
.
.
.
1
c
n
)
\textbf{J}_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & c_{1}\\ 0 & 1 & ... & 0 & c_{2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 1 & c_{n}\\ \end{pmatrix}
J1=
10⋮001⋮0.........00⋮1c1c2⋮cn
此时，
(
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
)
(c_{1},c_{2},...,c_{n})
(c1,c2,...,cn)是原方程组的唯一解。
情形2.2：
r
<
n
r<n
r<n，此时
J
1
\textbf{J}_{1}
J1有
r
r
r个主元（主元还是不能在第
n
+
1
n+1
n+1列出现，如果出现，就出现了
0
=
d
0=d
0=d”（其中
d
d
d是非零数）这样的方程）。（第
k
k
k行主元不一定在第
k
k
k列上），设
j
i
j_{i}
ji是第
i
i
i行的主元的列指标，
d
i
d_{i}
di为第
i
i
i个方程的常数项，则：
主元是主变量对应的系数，则主变量为
x
1
,
x
j
2
,
.
.
.
,
x
j
r
x_{1},x_{j_{2}},...,x_{j_{r}}
x1,xj2,...,xjr，
j
2
j_{2}
j2不一定是2，以此类推…，将非主变量（自由未知量）编号为
x
i
1
,
.
.
.
,
x
i
n
−
r
x_{i_{1}},...,x_{i_{n-r}}
xi1,...,xin−r，然后将主变量保留在等号左侧，将自由未知量移动到等号右侧，去除全是0的无效方程后得到如下方程组：
{
x
1
=
b
11
x
i
1
+
b
12
x
i
2
+
.
.
.
+
b
1
,
n
−
r
x
i
n
−
r
+
d
1
,
x
j
2
=
b
21
x
i
1
+
b
22
x
i
2
+
.
.
.
+
b
2
,
n
−
r
x
i
n
−
r
+
d
2
.
.
.
x
j
r
=
b
r
1
x
i
1
+
b
r
2
x
i
2
+
.
.
.
+
b
r
,
n
−
r
x
i
n
−
r
+
d
r
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=b_{11}x_{i_{1}}+b_{12}x_{i_{2}}+...+b_{1,n-r}x_{i_{n-r}}+d_{1} ,\\ x_{j_{2}}=b_{21}x_{i_{1}}+b_{22}x_{i_{2}}+...+b_{2,n-r}x_{i_{n-r}}+d_{2}\\ ...\\ x_{j_{r}}=b_{r1}x_{i_{1}}+b_{r2}x_{i_{2}}+...+b_{r,n-r}x_{i_{n-r}}+d_{r} \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x1=b11xi1+b12xi2+...+b1,n−rxin−r+d1,xj2=b21xi1+b22xi2+...+b2,n−rxin−r+d2...xjr=br1xi1+br2xi2+...+br,n−rxin−r+dr
将自由未知量 x i 1 , . . . , x i n − r x_{i_{1}},...,x_{i_{n-r}} xi1,...,xin−r取定任意一组数，就能确定主变量，这些自由未知量能确定无穷多组数，所以此时原方程组有无穷多个解。
1.5 n n n元齐次线性方程组
常数项为0的方程组称为**
n
n
n元齐次线性方程组**。其具体形式为（
s
s
s为方程的个数）：
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
0
.
.
.
.
.
.
a
s
1
x
1
+
a
s
2
x
2
+
.
.
.
+
a
s
n
x
n
=
0
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\ ......\\ a_{s1}x_{1}+a_{s2}x_{2}+...+a_{sn}x_{n}=0 \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0......as1x1+as2x2+...+asnxn=0
其中
(
0
,
0
,
.
.
.
,
0
)
(0,0,...,0)
(0,0,...,0)是该方程组的一个解，称为零解。其余的解（如果有的话）称为非零解。
齐次线性方程组一定有解，所以齐次线性方程组有唯一解就一定是零解，有非零解就一定是有无穷多个解。
【推论1】
n
n
n元齐次线性方程组有非零解
⇔
\Leftrightarrow
⇔系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行的数目
r
<
n
r<n
r<n（
n
n
n为未知量个数）
【推论2】
n
n
n元齐次线性方程组若它的方程的个数
s
<
n
s<n
s<n（
n
n
n为未知量个数），则非零行的数目
r
≤
s
<
n
r\le s<n
r≤s<n，则它有非零解。（充分条件）
1.6 数域
【定义1】复数集的一个非空子集
K
\textbf{K}
K如果满足：
（1）
0
,
1
∈
K
0,1\in\textbf{K}
0,1∈K
（2）
a
,
b
∈
K
⇒
a
±
b
∈
K
,
a
b
∈
K
a,b\in\textbf{K}\Rightarrow a\pm b\in\textbf{K},ab\in\textbf{K}
a,b∈K⇒a±b∈K,ab∈K；
a
,
b
∈
K
a,b\in\textbf{K}
a,b∈K且
b
≠
0
⇒
a
b
∈
K
b\ne 0 \Rightarrow \frac{a}{b}\in\textbf{K}
b=0⇒ba∈K（对加减乘除封闭）
则称
K
\textbf{K}
K是一个数域。
数域里有有理数域
Q
\mathbb{Q}
Q，实数域
R
\mathbb{R}
R，复数域
C
\mathbb{C}
C，但是整数集
Z
\mathbb{Z}
Z不是数域，因为整数集对除法不封闭。
- 任一数域都包含有理数域 Q \mathbb{Q} Q，有理数域是最小的数域。
- 复数域是最大的数域。
1.7 引入行列式
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
=
b
2
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}, \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\\ \end{array}\right.
{a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2
其中
a
11
,
a
21
a_{11},a_{21}
a11,a21不全为0（如果全为0就变成一个未知量了），不妨设
a
11
≠
0
a_{11}\ne 0
a11=0
写出上述线性方程组的增广矩阵并做初等行变换为：
(
a
11
a
12
b
1
a
21
a
22
b
2
)
（第
2
行加
−
a
21
a
11
第一行）
⟶
(
a
11
a
12
b
1
0
a
22
−
a
21
a
11
a
12
b
2
−
a
21
a
11
b
1
)
=
(
a
11
a
12
b
1
0
a
11
a
22
−
a
21
a
12
a
11
b
2
−
a
21
a
11
b
1
)
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{pmatrix}（第2行加-\frac{a_{21}}{a_{11}}第一行）\longrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{1}\\ 0 & a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12} & b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{1}\\ 0 & \frac{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}{a_{11}} & b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \end{pmatrix}
(a11a21a12a22b1b2)（第2行加−a11a21第一行）⟶(a110a12a22−a11a21a12b1b2−a11a21b1)=(a110a12a11a11a22−a21a12b1b2−a11a21b1)
- 情形1： a 11 a 22 − a 21 a 12 ≠ 0 a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\ne 0 a11a22−a21a12=0，上述线性方程组有唯一解。
- 情形2： a 11 a 22 − a 21 a 12 = 0 a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0 a11a22−a21a12=0，如果 b 2 ≠ 0 b_{2}\ne0 b2=0，则出现 0 = 0= 0=非 0 0 0数，上述线性方程组无解，如果 b 2 = 0 b_{2}=0 b2=0，则上述方程组有无穷多解，所以此种情形是对应上述方程组无解或有无穷多解。
把表达式 a 11 a 22 − a 21 a 12 a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} a11a22−a21a12记为 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} a11a21a12a22 ，将其称为2阶行列式。它也可以成为上述线性方程组的系数矩阵的行列式。这样就可以从原方程组的系数来判断方程组解的情况，所以第二章就要讨论 n n n阶行列式。
