C++ 程序寻找通过 2 个点的线（Program to find line passing through 2 Points）

news2024/11/17 16:48:54

在数学和计算机科学中，找到通过两个点的线的方程是一个基础问题。假设我们有两个点 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2)，我们想要找到通过这两个点的直线方程。

直线方程的形式

直线的方程通常表示为 y=mx+b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。

计算斜率 m

斜率 m 可以通过以下公式计算：

m=x2−x1y2−y1

计算 y 轴截距 b

一旦我们有了斜率 m，我们就可以通过代入一个点的坐标来找到 y 轴截距 b。使用点 P1(x1,y1)：

y1=mx1+b

解这个方程以找到 b：

b=y1−mx1

示例

假设我们有两个点 P1(2,3) 和 P2(4,7)。

计算斜率 m：

m=4−27−3=24=2

计算 y 轴截距 b：

b=3−2×2=3−4=−1

因此，通过点 P1 和 P2 的直线方程是：

y=2x−1

下面举例一些示例图片：

给定坐标平面中的两个点 P 和 Q，求出通过这两个点的直线方程。
这种转换在许多几何算法中非常有用，例如直线交点、求三角形的外心、求三角形的内心等等……

例子：

输入：P(3, 2)
Q(2, 6)
输出：4x + 1y = 14

输入：P(0, 1)
Q(2, 4)
输出：3x + -2y = -2

假设给定的两个点分别为 P(x 1 , y 1 ) 和 Q(x 2 , y 2 )。现在，我们找到由这些点形成的直线方程。
任何直线都可以表示为，
ax + by = c

假设这两个点满足给定的直线。因此，我们有，
ax 1 + by 1 = c
ax 2 + by 2 = c

我们可以设置以下值，使得所有方程成立，

a = y 2 - y 1
b = x 1 - x 2
c = ax 1 + by 1

这些可以通过首先直接获得斜率，然后找到直线的截距来推导。或者也可以通过以下简单的观察巧妙地推导这些：

推导：

ax 1 + by 1 = c ...(i)
ax 2 + by 2 = c ...(ii)
使 (i) 和 (ii) 相等，
ax 1 + by 1 = ax 2 + by 2
=> a(x 1 - x 2 ) = b(y 2 - y 1 )

因此，为了使 LHS 和 RHS 相等，我们可以简单地得到，
a = (y 2 - y 1 )
AND
b = (x 1 - x 2 )
从而得到，
(y 2 - y 1 )(x 1 - x 2 ) = (x 1 - x 2 )(y 2 - y 1 )
AND

将这些值放入 (i) 中，我们得到，
c = ax 1 + by 1
因此，我们现在有了 a、b 和 c 的值，这意味着我们在坐标平面上有一条线。

编程实现：

// C++ Implementation to find the line passing
// through two points
#include <iostream>
using namespace std;

// This pair is used to store the X and Y
// coordinate of a point respectively
#define pdd pair<double, double>

// Function to find the line given two points
void lineFromPoints(pdd P, pdd Q)
{
double a = Q.second - P.second;

   double b = P.first - Q.first;

   double c = a * (P.first) + b * (P.second);

if (b < 0) {
cout << "The line passing through points P and Q "
"is: "
<< a << "x - " << b << "y = " << c << endl;
}
else {
cout << "The line passing through points P and Q "
"is: "
<< a << "x + " << b << "y = " << c << endl;
}
}

// Driver code
int main()
{
pdd P = make_pair(3, 2);

   pdd Q = make_pair(2, 6);

   lineFromPoints(P, Q);

   return 0;
}