题目描述

  小Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

  旅游景点的地图共有n 处地点，在这些地点之间连有m 条道路。其中1 号地点为景区入口，n 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为0 时刻，则从0 时刻起，每间隔k 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

  所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 1 单位时间。

  小Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 k 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小Z 在坐旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在 任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上逗留。

  出发前，小Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个“开放时间”ai，游客只有不早于ai 时刻才能通过这条道路。

  请你帮助小Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

大样例：

bus.zip

输入输出格式

输入格式：

从文件bus.in 中读入数据。
输入的第一行包含3 个正整数n, m, k，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。
输入的接下来m 行，每行包含3 个非负整数ui, vi, ai，表示第i 条道路从地点ui出发，到达地点vi，道路的“开放时间”为ai。

输出格式：

输出到文件bus.out 中。
输出一行，仅包含一个整数，表示小Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出‐1。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

输出样例#1：

6

[解析看上面题干。]

提示信息

对于所有测试数据有：2 ≤ n ≤ 10^4，1 ≤ m ≤ 2×10^4，1 ≤ k ≤ 100，1 ≤ ui, vi ≤ n，0 ≤ ai ≤ 10^6。

思路

主要思路：二分到达终点的时刻，建反图向前推看能不能使起点时刻为k。（应该很少这么想的qwq）

但是对于这种思路，本来用来送分的a[i]=0的7个点在n与m较大时会卡住程序，因此需要判断特殊性质，再使用bfs根据原图直接走。

主要思想：

图论算法采用SPFA，队列维护一个二元组（起点，到达该点的时刻）

设d[i][j]表示能否在%k为j的时刻到达点i

则递推式：d[v][(l-1)%k]=d[v][(l-1)%k]|d[u][l]

需要注意二分上界，由于0 ≤ ai ≤ 10^6证明最大的瓶颈不会超过10^6，上界可设为2*10^6

二分（a*k）中的a，那么a的范围为[0,2000000/k+1]

给出二分的代码

register int l=0,r=2000000/k+1,cntt=0;//register：一点常数优化，cntt作为“颜色”，以免去memset产生的额外复杂度
while(l<r)
{
	register int mid=(l+r)>>1;
	if(SPFA(mid*k,++cntt)) r=mid;//判断终点时刻为mid*k时是否符合条件
	else l=mid+1;
}
if(l==0||r==2000000/k+1) cout<<-1;//无解
else cout<<r*k;

SPFA：

bool SPFA(register int ed_t,register int col)
{
	d[n][0]=col;
	q.push(P(n,ed_t));
	register int T=0;
	while(!q.empty())
	{
		P p=q.front();
		q.pop();
		register int u=p.first,ll=p.second;
		T++;
		for(register int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			if(ll-1<edge[i].w) continue;
			register int v=edge[i].v,to=(ll%k==0?(k-1):(ll-1)%k);
			if(d[v][to]!=col)
			{
				d[v][to]=col;
				q.push(P(v,ll-1));
			}
		}
	}
	return (d[1][0]==col);
}

BFS:

代码极其相似，只不过是在原图上正着跑，而且由于针对a[i]=0的情况，不用判断是否符合移动条件

void SPFA_2()
{
	d[1][0]=1;
	q.push(P(1,0));
	while(!q.empty())
	{
		P p=q.front();
		q.pop();
		register int u=p.first;
		register int ll=p.second;
		for(register int i=head2[u];i!=-1;i=edge2[i].next)
		{
			register int v=edge2[i].v,to=(ll+1)%k;
			if(v==n&&!to) ans=min(ans,ll);
			if(!d[v][to])
			{
				d[v][to]=1;
				q.push(P(v,ll+1));
			}
		}
	}
	if(ans!=1e8)cout<<ans+1;
	else cout<<-1;
}

全代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[10001][100];
int n,m,k;
struct Edge{
	int v;
	int w;
	int next;
}edge[20001],edge2[20001];
int head[10001],cnt=0,ans=1e8,cnt2=0,head2[10001];
struct T{
	int a;
	int b;
	int c;
}g[40001];
typedef pair<int,int> P;
void add_edge(register int u,register int v,register int w)
{
	edge[++cnt]=(Edge){v,w,head[u]};
	head[u]=cnt;
}
void add_edge2(register int u,register int v,register int w)
{
	edge2[++cnt2]=(Edge){v,w,head2[u]};
	head2[u]=cnt2;
}
queue<P> q;
bool SPFA(register int ed_t,register int col)
{
	d[n][0]=col;
	q.push(P(n,ed_t));
	register int T=0;
	while(!q.empty())
	{
		P p=q.front();
		q.pop();
		register int u=p.first;
		register int ll=p.second;
		T++;
		for(register int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			if(ll-1<edge[i].w) continue;
			register int v=edge[i].v,to=(ll%k==0?(k-1):(ll-1)%k);
			if(d[v][to]!=col)
			{
				d[v][to]=col;
				q.push(P(v,ll-1));
			}
		}
	}
	return (d[1][0]==col);
}
void SPFA_2()
{
	d[1][0]=1;
	q.push(P(1,0));
	while(!q.empty())
	{
		P p=q.front();
		q.pop();
		register int u=p.first;
		register int ll=p.second;
		for(register int i=head2[u];i!=-1;i=edge2[i].next)
		{
			register int v=edge2[i].v,to=(ll+1)%k;
			if(v==n&&!to) ans=min(ans,ll);
			if(!d[v][to])
			{
				d[v][to]=1;
				q.push(P(v,ll+1));
			}
		}
	}
	if(ans!=1e8)cout<<ans+1;
	else cout<<-1;
}
int read()
{
	register int s=0;
	char ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return s;
}
int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	memset(head2,-1,sizeof(head2));
	n=read();
	m=read();
	k=read();
	bool p1=1;
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
		register int x,y,z;
		x=read();
		y=read();
		z=read();
		g[i].a=x,g[i].b=y,g[i].c=z;
		if(z) p1=0;
		add_edge(y,x,z);
	}
	if(p1)
	{
		for(register int i=1;i<=m;i++)
		{
			add_edge2(g[i].a,g[i].b,g[i].c);
		}
		SPFA_2();
		return 0;
	}
	register int l=0,r=2000010/k,cntt=0;
	while(l<r)
	{
		register int mid=(l+r)>>1;
		if(SPFA(mid*k,++cntt)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	if(l==0||r==2000010/k) cout<<-1;
	else cout<<r*k;
	return 0;
}