I/Q 旋转 Rotation

在许多多通道射频系统中，如 AD-FMCOMMS5，甚至在 AD-FMCOMMS2、AD-FMCOMMS3 上，都需要测量或校正两个复数 （I/Q） RF 信号之间的相位差。

从纯粹的数学描述来看，单个正弦波没有相位，一个相位只能在两个不同的正弦波之间发展。增加复杂性的是，我们没有一个单一的真实信号（正弦波），我们有一个复信号（I + Qi） = cos（omega） + sin（omega）{i} = e^{{i}{omega}}。将此信号旋转 180° 或 pi 弧度，变为 e^{{i}{pi}} + 1，这就是我们希望能够找到并最终纠正的结果。如果您不确定为什么数学会以这种方式工作，请查看此解释。

在上一节中，我们讨论了 I/Q 校正 - 相对于固定 I 的相移 Q，并使 I 和 Q 的幅度相等。在AD9361/AD9364中，这是在器件内部自动完成的，称为“正交校正”。

我们将检查的第一阶段是测量相位差。

确定相位差

在经典意义上 - 测量不同信号的相位同步，只有相位是重要的。对振幅没有限制。因此，耦合系统的相位同步被定义为它们相位之间关系的出现，而幅度可以保持不相关。下面的许多技术将测量相位/频率/幅度差异，而其他技术将仅测量相位。根据应用和信号的不同，不同的方案可能会提供更好的结果。

尽管 Simulink 可能有一个模块可以直接测量两个复杂输入信号之间的相位差，但大多数其他环境都没有，我们需要更好地理解如何做到这一点。

测量两个射频信号之间相位差的确切方法取决于信号和相关应用：

▲信号中是否存在噪声，噪声是否相关，或者两者中是否存在随机高斯噪声？
▲信号是什么样子的？它是一种宽带信号（如QPSK、QAM、LTE等），还是单音、恒频信号？信号的频率是否在变化（如啁啾声？
▲两个信号的幅度是否接近相同？还是它们非常不同？
▲应用程序是否需要整个帧/数据集的平均相位滞后，或者是否需要跟踪相位在一段时间内的变化情况？

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■过零 - 虽然这可以单独使用 I/Q 来完成，但查看 2 个不同的 I 和 2 个不同的 Q 信号，然后对差值求平均值/合并，这需要大量的计算。如果信号之间存在少量的直流偏移或幅度差异，这也会出现问题。下面的其他选项没有这些相同的缺点。
■互相关 ：这是在 iio 示波器应用程序中实现的，通过使用 David E. Narváez 关于他的论文项目的帖子和他的 Github 存储库中的代码。它衡量两个序列（在本例中为真实信号或复数信号）的相似性（相位和幅度），作为一个序列相对于另一个序列的滞后函数。这样做的缺点是，它的准确性是基于相对于被分析信号的采样时间。在这种情况下，将同时查看振幅和相位/频率。

■单点分析：这使用上图，并查看 2 点之间的相位。由于我们对时间点并不真正感兴趣（因为这不是复杂调制的工作原理），因此这并不适用，也未实现。以下方法处理具有多个捕获样本的事物，并被使用，但主要基于此（公元前 3 世纪亚历山大的欧几里得制定的余弦定律）。唯一的问题是，余弦定律总是提供内角或钝角，而不是反射角，这可能是我们感兴趣的那个。

■内积 - 虽然这更适合纯正弦波，但它可以用于任意信号，但你得到的是两个向量（包括所有噪声）之间的角度，与振幅无关。这使用上述单点分析，并在整个采样数据中使用它。

其中
表示复共轭。

■ 频域：这适用于由恒定频率主导的信号。在这里，您可以将信号转换为频域（使用 fftw）。然后，你会找到与你关心的频率相对应的箱，并得到两个信号之间的角度。例如，如果我们知道第 18 个 bin 是感兴趣的频率，那么它就是：
。您可以使用余弦定律在向量方法中将其重写为（使用点积，因此使用复数共轭的乘法）：

当您想使用 atan 与 acos 时，取决于 – 如果角度接近 90º，请使用 acos（90º 的棕褐色为 ∞）。缺点是 cos/acos 确实具有对称性 - 无法分辨 45º 和 -45º，或 90º 和 -90º 之间的区别，因此可能需要对实数/虚数符号进行一些额外的测试。如果角度更接近 0º，则使用 atan（atan 在 0º 处的分辨率高于 acos，因此它将提供更准确的数字）。还必须注意确保我们在必要时测量反射角。这都是在 iio 示波器应用程序中实现的，只需为频率法选择 2 个复数输入，不同 bin（标记）的相位差就会显示出来。

■ 希尔伯特变换。这是可以做到的，但我还没有做到

大小 Magnitude

了解我们试图解决什么样的问题 – 理解相位角和时间滞后/超前之间的关系是件好事。

psi{°} = 360{°} * 欧米茄 * {Delta}t 或 {Delta}t = {psi{°}} / {360{°} * 欧米茄}

因此，对于 1MHz 基带正弦波，即偏离 0.5°，即

{Delta}t = {0.5{°}} / {360{°} ~ * ~ 1 * 10^6Hz} = 1.389 * 10^{-9} 秒 = 1.389ns。像所有电磁波一样，无线电波以光速（_{0.299792458米/纳秒）传播。在本例中，0.5°，意味着我们可能偏离任何相对距离测量值}41.64厘米（如果这是您正在做的）。

这就是为什么我们需要确保我们不考虑基带的原因。

对于我们调制到2.4GHz（2.401MHz波）的1MHz基带正弦波，它是

{Delta}t = {0.5{°}} / {360{°} ~ * ~ 2.401 * 10^9Hz} = 5.784626775880420195288999953723 * 10^{-13} 秒 = 0.5784ps。这变成了 ~0.173 毫米的相对距离测量值。

毋庸置疑 - 我们希望尽可能精确，并确保我们引用的是空气/射频接口，而不是基带信号。

旋转 I/Q Rotating

当单个连续波 （CW） 射频音调与基带混合时，它会产生两个信号（同相和正交），它们应该以相同的幅度彼此正交。在不失去通用性的情况下，我们对幅度和相位进行归一化，然后这两个信号可以表示为：

如上所述，我们希望围绕同一点旋转这些信号，这与提供恒定相移相同。

其中 Omega 是音调的基带频率，psi 是所需的相移，这将导致围绕原点的固定旋转（在星座图中，或 I 与 Q 图）。

我们可以使用三角和/差恒等式将其重写为：

并替换我们原始的未校正值，（并交换 Q 素数的顺序，这样我们就可以更容易地看到矩阵…

将其转换为 2 x 4 矩阵乘法非常容易。

虽然系数与调整 Q 相对于 I 有很大不同，但可以使用相同的硬件（2 x 2 乘法器）。

这很好，但是由于我们正在处理FPGA内部的定点数学运算，因此我们需要小心溢出。如果我们确定要旋转某物，Ψ 为 45°（或 pi/4 弧度），因为 cos（pi/4） = sin（pi/4） = 1/sqrt{2}，

如果您只是在研究连续音调，那就没问题了。但是，由于简单的CW音调并不能真正代表像QPSK这样的复杂（I/Q）无线电信号，因此对于AD9361，I/Q可能接近分辨率的最大值，即12位或1.11位（1个符号位，11个幅度位）。例如：如果 I 和 Q 都位于 +1638（约为满量程的 80%），则校正后的 I’ 和 Q’ 的结果为 I’ = 0 和 Q’ = 2317。Q’ 将溢出 1.11 位表示。

有两种解决方案：

⚪ 使数据路径更宽（这是ADI设计中所做的，我们允许16位结果）。这会产生改变设备规模的副作用。结果不再只是 12 位，而是可能高出半个位。（如上所述，我们可以将比例尺改变 sqrt{2} 或 1.41 的因子，这可能会增加近 1/2 的量级）。
⚪ 按比例缩小。虽然减小振幅（这可能会抛弃现有的分辨率）始终是一个问题，但这确实有一个好处，即不会改变 ±1 的刻度（无论旋转如何，满量程始终相同）。

要缩放，只需除以收益，.取绝对值很重要，以确保
（否则会在 +135 度（+3/4π 弧度）或 +315 （-45） 度（-π/4 弧度）时发生）。这意味着：

这使得矩阵：

以上可以直接使用，具体取决于您的数学库可用的函数类型（sin、cos、tan）以及您允许的旋转量（以上适用于 ±180 度）。您可以根据其他 trig 函数进行重写，但必须注意确保分母永远不会接近零。